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[函数] 一道指对数恒成立问题

本帖最后由 敬畏数学 于 2018-12-27 14:24 编辑

$ xe^x-lnx+(1-b) x\geqslant 1$对任意$x>0$恒成立,则b的范围-------?
$ b-1\leqslant e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0) $,设$ g(x)= e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0)$,$\frac{d(g(x))}{dx}=\frac{x^2e^x+lnx}{x^2}$,设$h(x)=x^2e^x+lnx$,显然$x>0$此函数为增函数,h(x)有唯一零点$ m $,满足$  m^2e^m+lnm=0$,g(x)的最小值为$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}$,$ m^2e^m+lnm=0$变形为$  me^m=-\frac{lnm}{m}$,即为:$me^m=-lnm*e^{-lnm}$,显然函数$k(m)=me^m(m>0)$为增函数,故有:$m=-lnm(m>0)$,代入最小值$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}=1$,即$b-1\leqslant 1$,得到:$ b\leqslant 2$ 即为所求#
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核对一下题目,否则要扔掉

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感觉此题转得厉害,高手有其他解法?等待,先谢!

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哦,是我错了,原来零点不用求,我一看驻点是超越的( ProductLog[1] )就以为要扔了,又渣了一回……

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回复 3# 敬畏数学

其他方法恐怕又要用到 `xe^x=e^{x+\ln x}\geqslant x+\ln x+1` 这招了,这样应该瞬间就得到答案了,细节懒得写,反正想起这招之后一切都不重要了。

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回复 5# kuing
哈哈!果真秒掉啊!
$ g(x)= e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0)=\frac{1}{x}(xe^x-lnx-1)=\frac{1}{x}(e^{x+lnx}-lnx-1)\geqslant $,由于$e^{x+lnx}\geqslant x+lnx+1$

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难得楼主写个有过程的问题。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-1-20 14:38 编辑

类似再证明:若$ a\leqslant 1 $,证明:$ \frac{lnx}{x-1}>\frac{a(x+1)}{e^x} $;只需证$ \frac{lnx}{x-1}>\frac{x+1}{e^x},x>1$,即证:$ lnx>\frac{x^2-1}{e^x},x>1$,下面设g(x)=$ lnx-\frac{x^2-1}{e^x},x>1$.对于0<x<1,利用:$ lnx<x-1,e^x>x+1 $类似太多:$ a>0,xe^{ax}-lnx-bx\geqslant 1$对于x恒成立 ,则:$b\leqslant a$
类似:$ xe^{2x} -kx-1-lnx\geqslant 0$恒成立,$ kx\leqslant xe^{2x} -1-lnx\ = e^{lnx+2x}-1-lnx\leqslant 2x$,即$ k\leqslant 2 $

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