本帖最后由 敬畏数学 于 2018-12-27 14:24 编辑
$ xe^x-lnx+(1-b) x\geqslant 1$对任意$x>0$恒成立,则b的范围-------?
$ b-1\leqslant e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0) $,设$ g(x)= e^x-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}(x>0)$,$\frac{d(g(x))}{dx}=\frac{x^2e^x+lnx}{x^2}$,设$h(x)=x^2e^x+lnx$,显然$x>0$此函数为增函数,h(x)有唯一零点$ m $,满足$ m^2e^m+lnm=0$,g(x)的最小值为$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}$,$ m^2e^m+lnm=0$变形为$ me^m=-\frac{lnm}{m}$,即为:$me^m=-lnm*e^{-lnm}$,显然函数$k(m)=me^m(m>0)$为增函数,故有:$m=-lnm(m>0)$,代入最小值$g(m)=e^m-\frac{lnm}{m}-\frac{1}{m}=1$,即$b-1\leqslant 1$,得到:$ b\leqslant 2$ 即为所求# |