本帖最后由 业余的业余 于 2018-12-28 00:24 编辑
回复 1# lemondian
不妨设 $\angle ABC=\alpha,$ 二面角 $C-AB-D$ 为 $\beta$, 则 $S_{\triangle ABC}=\sin \alpha \cos \left(\cfrac \alpha 2\right)$, D 到 平面 $ABC$ 的距离 $\sin \alpha \sin\beta$
$V= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta$
显然 最大值在 $\beta=90^\circ$ 时取得,此时
$V(\alpha)= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha= \cfrac 13(1-\cos^2 \alpha )\cos\alpha $
令 $x= \cos\alpha$, 则 $V(x)=\cfrac 13(x-x^3), x\in(0,1)$
求导,已知唯一有效的驻点是 $x^2=\frac 13$, 根据问题的性质已知此为最大值点,代入得 $V_{max}=\cfrac {2\sqrt{3}}{27}$
kuing直接设边, 少走了很多路 :( |