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[不等式] 切线法不用行吗?

这道题与某年的联赛题相同,我想请教大神,只能用切线法+分类讨论?
正数$a,b,c$满足$a+b+c=3$,求证:$\dfrac{b+c-a}{(b+c)^2+a^2}+\dfrac{c+a-b}{(c+a)^2+b^2}
+\dfrac{a+b-c}{(a+b)^2+c^2}\leqslant \dfrac{3}{5}$.
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当然可以,常规的变形+柯西就行:

原不等式等价于如下的
\begin{gather*}
\sum\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c)^2+a^2}\leqslant\frac95,\\
\sum\left( 1-\frac{2a^2}{(b+c)^2+a^2} \right)\leqslant\frac95,\\
\sum\frac{a^2}{(b+c)^2+a^2}\geqslant\frac35,
\end{gather*}
然后 CS 得
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\frac{\left( \sum a^2 \right)^2}{\sum\bigl(a^2(b+c)^2+a^4\bigr)}\\
&=\frac{\left( \sum a^2 \right)^2}{\left( \sum a^2 \right)^2+2abc\sum a}\\
&\geqslant\frac{\left( \sum a^2 \right)^2}{\left( \sum a^2 \right)^2+\frac23\left( \sum a^2 \right)^2}\\
&=\frac35.
\end{align*}

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回复 2# kuing

学习。

基础太差, $abc\sum a \leqslant \cfrac 13 (\sum a^2)^2$ 捉摸了好一会。

$abc(a+b+c) \leqslant \left(\cfrac {a+b+c}3\right)^3(a+b+c)=\cfrac 13\left(\cfrac{(a+b+c)^2}3\right)^2 \leqslant \cfrac 13(a^2+b^2+c^2)^2$

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