(2)先上一引理
引理:$ P $为园$ O $外一点,直线$ PD $交园$ O $于$ C,D $两点,直线$ PB $交园$ O $于$ A,B $两点,$ AB $为园$ O $的直径,$ E $为$ AD $与$ BC $交点,$ E $在$ AB $上的垂足为$ F $,$ FE $延长线交$ CD $于$ G $,$ N $为$ AD $中点,$ M $为$ PN $与$ AC $交点。求证:$ MG\px AD $
证明:
如图:过$ C $点作$ CK\px MG $交$ PN $于$ K $,连接$ CF,DF,DB $,作$ DL\px CF $交$ AB $于$ L $。有$ \angle DLF=\angle GFA $
由\[ \triangle CMK\sim \triangle AMN\riff \dfrac{CM}{MA}=\dfrac{CK}{AN}=\dfrac{CK}{ND}=\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{CF}{DL}\]因为\[ EC\perp CA\\EF\perp AB\\ED\perp DB \]有$ ACEF $四点共园,$ EDBF $四点共园,得\[ \angle CFA=\angle CEA=\angle DEB=\angle DFB\\\angle CFG=\angle DFG \]所以\[ \angle DLF=\angle CFA=\angle DFL\riff DF=DL \]即\[ \dfrac{CM}{MA}=\dfrac{CF}{DF} \]在$ \triangle FCD $中,由角平分线定理知\[ \dfrac{CF}{DF}=\dfrac{CG}{GD} \]综上有\[ \dfrac{CM}{MA}=\dfrac{CF}{DF}=\dfrac{CG}{GD}\riff MG\px AD \]
回到原题,
连接$ LB $,同理有\[ \angle CLB=90\du \]
由引理知\[ PQ\px CL \] |