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[不等式] 二元和为定值的不等式证明

已知$x,y\geqslant 0,x+y=3$,求证:$\dfrac{9}{11}\leqslant \dfrac{x^2}{x+5}+\dfrac{y^2}{y+3}\leqslant \dfrac{3}{2}$.
题目常规,我用的是均值待定系数,和消元再求导。大神们可以露露,再有我觉得应该有几何意义。
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左边 CS 一步完事就不说了,至于右边,反向往往是端点取等,所以一下就猜到 `x=0`, `y=3` 取等,于是瞬间就得到了下面的证法:因为
\[\frac{x^2}{x+3}-\frac x2=\frac{x(x-3)}{2(x+3)}\leqslant 0,\]
对 `y` 同理,所以
\[\frac{x^2}{x+5}+\frac{y^2}{y+3}\leqslant\frac{x^2}{x+3}+\frac{y^2}{y+3}\leqslant\frac x2+\frac y2=\frac32.\]

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证确实好证,因为这样的题见得多了,想知道大家玩的花样有多巧。有无几何上的解释。

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好。

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像这样的既没难度又没什么特别的不等式,搞出几种有代表性的解法就够了,不必太追求多解多花样什么意义之类的,有这闲情还不如刷些其他有难度的题玩儿,话说回来,你之前那些帖我给你写的那些解答,你都弄懂了吗?

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谢谢k神,懂了。回复 5# kuing

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可能楼主说的几何意义是想搞切、割线吧
下面给一个割线的,旨在说明kuing为何想到了与那个$\dfrac x2$作差(或许不需借用割线也会想到)
blog1.png
2018-12-15 00:00
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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