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显然$x\neq 0,a>0$,等式两边同除$x$得$\ln x^2+\dfrac{a}{x}=\ln a+x$,
令$f(x)=2\ln(-x)+\dfrac{a}{x}-x-\ln a(x<0),g(x)=2\ln x+\dfrac{a}{x}-x-\ln a(x>0)$,
显然$f(x)$单调递减且$f(x)\in \mathbb{R}$，故$f(x)$有1个零点，则$g(x)$须有3个零点，
又$g^\prime(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{a}{x^2}-1=\dfrac{-x^2+2x-a}{x^2}$,
令$h(x)=-x^2+2x-a,h(x)$须有2个正根,即$0<a<1$.
设$h(x)$的两个正根为$x_1=1-\sqrt{1-a}\in (0,1),x_2=1+\sqrt{1-a}\in (1,2)$,
要保证$g(x)$在$(0,+\infty)$上有3个零点，即
\[\left \{\begin{array}{}
g(x_1)=2\ln x_1+\dfrac{a}{x_1}-x_1-\ln a=\ln x_1-\ln(2-x_1)+2-2x_1<0,\\
g(x_2)=2\ln x_2+\dfrac{a}{x_2}-x_2-\ln a=\ln x_2-\ln(2-x_2)+2-2x_2>0,
\end{array}\right.\]
令$\phi(x)=\ln x-\ln(2-x)+2-2x(0<x<2)$,
则$\phi^\prime(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-2=\dfrac{2x^2-4x+2}{x(2-x)}\ge 0$,
故$\phi(x)$在$(0,2)$上单调递增，又$\phi(1)=0$
所以当$x_1\in(0,1),x_2\in (1,2)$时，有$\phi(x_1)<0,\phi(x_2)>0$.
综上，可知$a$的取值范围为$(0,1)$.