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有没考虑过参变量分离?

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本帖最后由 isee 于 2018-12-12 15:36 编辑

回复 2# isee

昨天大致瞄了一下,原来不能完全分参。

今天又思考了一下,算是个极值偏移问题,还是从比较难的压轴题中抽离出来的感觉。



题:已知关于$x$的方程$x\ln x^2 +a =x\ln a+x^2$有四个实数根,求$a$的取值范围。


有一个思路如下:

注意到

\begin{align*}
x\ln x^2 +a &=x\ln a+x^2\\
2x\ln {\abs{x}}-x^2=&x\ln a-a\\
\ln {\abs{x}}-x=&\ln \frac a{\abs{x}}-\frac ax\\
\end{align*}

记$$f(x)=\left\{\begin{aligned} \ln x-x&,x>0\\ \ln(-x)-x&,x<0\end{aligned}\right.$$

则原命题等价于方程$$f(\abs{x})=f(a/\abs{x}),$$
有四个实数根.

先考察$${\color{red}x>0},$$容易知道$f(x)$在$(0,1)$是单增的,在$(1,+\infty)$是单减的,$x=1$是其极值点.

设$$f(x_1)=f(x_2),x_1\ne x_2.$$
则$$\sqrt {x_1x_2}<\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1.$$
令$$x_1=x,x_2=\frac ax\Rightarrow a\in (0,1).$$

即$x>0$时,有两不等实根,则有$a\in(0,1)$,还要说明有等实根,另一方面需要证明$x<0$只有一个实根.

好麻烦,不写了.

嗯,也怪自己,应先从$x<0$开始,函数单调,只有一个实数根;然后说明$x>0$需有三个实数根,则不能有$a\geqslant 1$,否则只有一个实数根.

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回复 7# mowxqq


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