本帖最后由 敬畏数学 于 2018-12-8 23:03 编辑
讨论函数$f(x)=e^x+2ax-2a$的零点个数,如有零点求出零点或者求出零点所在的有穷区间(区间端点均为实数)。
$\frac{df(x)}{dx}=e^x+2a$,(1)当a=0,显然没有零点。(2)当a>0时,函数在R上单增,f(1)
=e>0,$f(1-\sqrt{\frac{1}{2a}})<0$,其中,利用$e^x\leqslant \frac{1}{1-x},其中x<1$,有一零点。(3)当a<-$\frac{e^2}{2}$,f(2)<0,f(1)>0,$ f(-2a-1+\sqrt{4a^2+8a-1})>0$,利用$e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}(x\geqslant 0)$放缩,有两零点。(4)$a=-\frac{e^2}{2}$,有唯一零点2。(5)$-e²/2<a<0$,没有零点。 |