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[函数] 函数零点的问题

本帖最后由 敬畏数学 于 2018-12-8 23:03 编辑

讨论函数$f(x)=e^x+2ax-2a$的零点个数,如有零点求出零点或者求出零点所在的有穷区间(区间端点均为实数)。
$\frac{df(x)}{dx}=e^x+2a$,(1)当a=0,显然没有零点。(2)当a>0时,函数在R上单增,f(1)
=e>0,$f(1-\sqrt{\frac{1}{2a}})<0$,其中,利用$e^x\leqslant \frac{1}{1-x},其中x<1$,有一零点。(3)当a<-$\frac{e^2}{2}$,f(2)<0,f(1)>0,$ f(-2a-1+\sqrt{4a^2+8a-1})>0$,利用$e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}(x\geqslant 0)$放缩,有两零点。(4)$a=-\frac{e^2}{2}$,有唯一零点2。(5)$-e²/2<a<0$,没有零点。
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回复 1# 敬畏数学
敬老师是想取点?这个含参,复杂了。

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出题人变态,还要估算零点大小

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回复 1# 敬畏数学


这还不简单
这玩意的零点,相当于$e^x$和$2a(1-x)$的交点,很容易算出当$-2a=e^2$时两者相切,一个零点,就在$x=2$
当$-2a>e^2$时两个零点,一个在$(1,2)$里,一个在$(2,+\infty)$里
当$0\le-2a<e^2$时没有零点
当$-2a<0$时一个零点,在$(-\infty,1)$里

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此题是有点扯!原本4#的方法轻松搞定,但。。。。。。。

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