业余的业余

$|PA||PB|=|PC||PD|=1$ (圆幂定理),

记 $|PB||PC|=x>0$

$f(x)=S_{ABCD}=S_{\triangle PBC}-S_{\triangle PAB}=\cfrac {\sin\theta}2(|PB||PC|-|PA||PD|)=\cfrac {\sin\theta(x-1/x)}2$

显然 $f'(x)>0$, 从而 $f(x)$ 的最大值在 $x$ 的最大值处取得。直觉$T$ 在 $\angle BPC$ 的角平分线上时 $x$ 取得最大值。

重新建立坐标系，是原点在 $T$, $P$ 在 $X$ 轴正方向上。记直线 $PB$ 的倾角的补角为 $\alpha$, 有

$|PB|\sin\alpha = 2\sin\gamma$ ($\gamma$ 是与 $B$ 相关的一个参数）
$|PB|\cos\alpha-\sqrt{5}=2\cos\gamma$

联立解之，有 $|PB|=\sqrt{5}\cos\alpha + \sqrt{5\cos^2\alpha-1}$, 根据实际，另一个根舍掉。同理，有 $|PC|=\sqrt{5}\cos(\theta-\alpha) + \sqrt{5\cos^2(\theta-\alpha)-1}$。求$h(\alpha)=|PB|\cdot|PC|, (0\leqslant \alpha \leqslant \cfrac {\theta} 2)$ 的最大值看起来就头大。能否通过几何的方法证明当 $\angle BPC$ 的角平分线通过圆心$T$ 时，$|PB||PC|$ 取到最大值?

根据前面的计算此情形时 $|PB|=|PC|=\sqrt{5}\cos\left(\cfrac {\theta }2\right)+\sqrt{5\cos^2\left(\cfrac {\theta }2\right)-1}$, 容易验算当 $\theta=\pi/2$ 时，$f(x)=\sqrt{15}$ 与你的结果吻合。

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强！

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有空时再来好好领会