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[不等式] 切线法问题

张亚争 博客中有一套切线法的题目汇编。有两道需要缩放,让人茫无头绪。其中一道正是源自坛主 kuing. 题目如下:

1. 已知 $x,y,z\in\mathbb{R}$,且 $x+y+z=3$, 求 $f(x,y,z)=\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}$ 的最大值;

2. 已知 $x,y,z\ge 0$ 且 $x+y+z=1$. 求 $f(x,y,z)=x^3+2y^2+\cfrac{10}3 z$ 的取值范围。

谢谢关注!
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整理此《切线法证不等式题目汇编2013.8.11》的网友 Tesla35 是在网络上搜集这些题目的。
既然你知道第一题是源自我这里,那在此处搜一下(或《撸题集》里搜)便可以找到。
链接是:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=97

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第二题一看就比第一题简单(因为只需求两条切线而且没有根式),但其实有个小坑。

首先考察最小值,按照切线分析,设切点 `x_0`, `y_0`,切后的系数 `3x_0^2`, `4y_0`,常规想法自然是让它们和后面 `z` 的系数一样,即 `3x_0^2=4y_0=10/3`,解得 `x_0=\sqrt{10}/3`, `y_0=5/6`,然而,这俩数之和已经超过 `1`,`z` 要变成负数了,不行,要改。

出现上述情况意味着取等不在可行域内部,而在边界上,考虑到上述分析时 `z` 要变负数,大概就是 `z=0` 时取,那就不用和 `z` 的系数一样了,即只需 `3x_0^2=4y_0`,另外 `x_0+y_0=1`,解得 `x_0=2/3`, `y_0=1/3`,然后就可以把以上分析扔掉,开始写过程:

因为
\begin{align*}
x^3-\left(\frac43x-\frac{16}{27}\right)=\frac1{27}(3x-2)^2(3x+4)\geqslant0
&\riff x^3\geqslant\frac43x-\frac{16}{27},\\
2y^2+\frac29\geqslant\frac43y
&\riff 2y^2\geqslant\frac43y-\frac29,
\end{align*}
所以
\[f(x,y,z)\geqslant\frac43x+\frac43y+\frac{10}3z-\frac{16}{27}-\frac29\geqslant\frac43(x+y+z)-\frac{16}{27}-\frac29=\frac{14}{27},\]
当 `x=2/3`, `y=1/3`, `z=0` 时取等。

再求最大值,就不再啰嗦了,直接由 `x`, `y\leqslant1` 得
\[f(x,y,z)\leqslant x+2y+\frac{10}3z\leqslant\frac{10}3(x+y+z)=\frac{10}3,\]
当 `x=y=0`, `z=1` 取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing


   非常感谢!

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回复 2# kuing

顺便请教本坛如何搜索数学公式?

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回复 5# 业余的业余

直接搜公式的代码呗,记得勾选“全文”
QQ截图20181204115830.png
2018-12-4 11:59

当然这种搜法不是百分百能精准搜到,毕竟有时各人写代码的风格不同,以及一些细节问题(如+号被看成空格(表示或)),有时也会搜不出或者搜出很多无关的东西……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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多谢。 我试着搜了无结果,所以才问。看来要变着法子多搜几次

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主楼的第二题,像某个帖子一样(求正弦、余弦的高次方和的最小值),也可以配均值(即加上一些常数),便可将$x^3$降次成$x$,将$y^2$降次成$y$,并且系数还相同!但若做不到,只要系数比$z$的系数$\dfrac{10}3$小即可。

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回复 8# 其妙
还是贴一个类似题的做法,免得被人说成是水军!
blog7.png
2018-12-18 23:06
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 9# 其妙

居然有第一问提示,那难度就大大降低了……不过初赛,也罢……

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挺好的有提示。

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