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[不等式] √2a,b,c成等差,求3/sinA+√2/sinC最小值

在$\triangle ABC$中,設角$A,B,C$的對邊分別為$a,b,c$,
若$\sqrt{2}a,b,c$構成等差數列,則$\frac{3}{\sin{A}}+\frac{\sqrt{2}}{\sin{C}}$的最小值為
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现充已死,エロ当立。
维基用户页:https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods:https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

总感觉是从几何图形里出的,所以可能会有几何秒法……

不管了,先上个装逼均值解法:由面积公式及均值,有
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&=\frac{3bc}{2S}+\frac{\sqrt2ab}{2S}\\
&=\frac{2b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{\sqrt{\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\cdot3\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}}\\
&\geqslant\frac{4\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{(b+c)^2-a^2+3a^2-3(b-c)^2}\\
&=\frac{2\sqrt3b\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{a^2-b^2+4bc-c^2},
\end{align*}
由条件有 `b=\bigl(\sqrt2a+c\bigr)/2`,代入上式化简得到
\begin{align*}
\frac3{\sin A}+\frac{\sqrt2}{\sin C}
&\geqslant\frac{4\sqrt3\bigl(\sqrt2a+c\bigr)\bigl(\sqrt2a+3c\bigr)}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&=4\sqrt3-\frac{8\sqrt6ac}{2a^2+6\sqrt2ac+3c^2}\\
&\geqslant4\sqrt3-\frac{8\sqrt6}{2\sqrt6+6\sqrt2}\\
&=2+2\sqrt3,
\end{align*}
不难验证当 $A=60\du$ 且 $C=45\du$ 时满足题意且原式 `=2+2\sqrt3`,即等号能取,所以这就是所求的最小值。
1

评分人数

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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题目条件与所求好远好远

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此题真的是这样做吗?晕掉了。

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回复 4# 敬畏数学

直觉告诉我会有秒杀方法,只是暂时还没想到,你们也一起来想想吧

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未命名.PNG
2018-12-2 11:50

不知道这个是否有用。

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回复 6# 游客
来几个文字解释一下?

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某网友的柯西解答:
blog9.png
2018-12-8 14:49
1

评分人数

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回复 8# 其妙

介个还不错,至少比我那个自然得多

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回复 8# 其妙


    唉,没想到把有关A,C的和乘一下……

    主要这个数据也是变态。。。。。。。

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余弦定理关键。

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回复 7# 敬畏数学
未命名.PNG
2018-12-9 20:48


楼上的余弦定理可以不用,直接看图知道:当AC⊥BD时,BA、BC都是圆的切线,∠B达到最大值75度。

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