[几何] 反比例函数，两线交y轴，求证线段定值

isee

如图1，直线$y=k_1x$与$y=\frac {k_2}x$交于$A$，$B$两点，直线$AC$交$y$轴于$P$，直线$BC$交$y$轴于$D$，则$PD$的长为定值.

会不会有几何证法。。。。。

色k

分类是不是应该选几何

isee

回复 2# 色k

其实也行，就先函数吧.

反比例函数的性质。

zhcosin

哎，很久没上论坛了，今天来瞧一瞧，本来想撸两个题目的，结果第一页的题目全不会。

isee

回复 4# zhcosin

这页这个绝对是没有问题的呀。要不就是冬天的原因。

kuing

回复 3# isee

明明是双曲线性质

2018-11-28 17:55

两定点 A、B 对称，C 动，则 DE 和 D'E' 均为定值

isee

回复 6# kuing


    初中把 双曲线 当反比例函数的。。。。

isee

回复 6# kuing


    算了，不跟你争，我去改分类，你继续研究下，有没有可能有相对通顺的几何证明。

kuing

回复 8# isee

唉，原来“AB对称”也是不需要的……曲线上任两定点即可……

2018-11-29 09:28

kuing

又或者反过来，这样说：定直线 `l` 上有一固定长度的线段 `DE` 在滑动，`A`, `B` 为定点，直线 `AD` 与 `BE` 交于 `C`，则 `C` 的轨迹是双曲线？

2018-11-29 09:40

isee

果真又被你搞大了。

kuing

回复 11# isee

由 10# 联想起这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5621 总感觉会有点儿联系……

isee

回复 12# kuing


    我也想到了这个，huing 的射影解法可能就是问题的本质。

kuing

回复 13# isee

不过 10# 的命题不用高科技来证似乎也很简单。

以下暂且不考虑特殊情形（如 $AB\px l$ 之类），不妨设 `l` 就是 `x` 轴，记定长 `DE=d`，则 `AD` 和 `BE` 的方程分别为
\begin{align*}
y&=\frac{y_A}{x_A-x_D}(x-x_A)+y_A,\\
y&=\frac{y_B}{x_B-x_D-d}(x-x_B)+y_B,
\end{align*}
联立消去唯一的变量 `x_D` 便是交点 `C` 的轨迹方程，但这里不必去消，因为明显消去 `x_D` 后得到的方程的次数不高于二次，而 `AB` 不与 `l` 平行时必存在 `AD` 与 `BE` 平行的时刻，故此必定为双曲线（或者某些退化情形）。

另外，一般也存在 `C` 与 `A` 或 `B` 重合的时候，所以轨迹一般都过 `A` 和 `B`。

这样，是否能反过来说明 9# 成立呢？感觉还不够……

isee

回复 6# kuing

仅就主楼而言，$PD$的长度是点$A$纵坐标的2倍。

基本不用算，先几何法，先证$\triangle CPD$是等腰三角形。

isee

由A,B两点关于原点中心对称，可得$$PA=BD,$$证明并不难，此处略了。

进一步得到$$\angle CPD=\angle CDP.$$
所以$$\frac 12 PD=PJ=PG+GJ=JO+GJ=GO=y_A=\sqrt {k_1k_2}.$$