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[几何] 椭球面与三正交切线问题

已知椭球面 $S$,其方程为 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$,那么 $P$ 是否存在?若存在,求点 $P$ 形成的轨迹方程。
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得到一个更一般的结论:已知二次面 $S$,其方程为 $ax^2+by^2+cz^2=1$,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是 $S$ 的切线,$l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于点 $P$,那么 $P$ 的轨迹方程方程是 $a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c$。解法稍后整理,大家可以验证下。

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本帖最后由 hejoseph 于 2018-11-28 10:59 编辑

黄利兵提到一个结论
命题1:二次锥面有三条两两互相垂直的母线的充要条件是 $x^2$、$y^2$、$z^2$ 项系数之和为 0。
这个结论可以用二次曲面的不变量去证明,将锥面通过旋转和平移到三条两两互相垂直的母线与 $x$、$y$、$z$ 轴重合去讨论,不难。二次曲面的不变量在有对二次曲面一般理论的解析几何书里会有专门介绍。
命题2:以点 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 为锥的顶点,母线与二次曲面 $ax^2+by^2+cz^2=1$ 相切的切锥面方程为
\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}
这个结论用一般的锥面方程求解方法推导即可,只是计算繁琐,没难度。
回到原问题,根据命题1和命题2,必定有
\[
a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)=0
\]
整理得
\[
a(b+c)x_0^2+b(a+c)y_0^2+c(a+b)z_0^2=a+b+c
\]
即所求点 $P$ 的轨迹方程是
\[
a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c
\]

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回复 3# hejoseph


    虽然不懂,但结论漂亮,膜拜。

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回复 4# isee

俺也是,对“空解几”的了解太少鸟……
我尝试过用常规的方法,设切点和直线然后利用垂直列出方程组,但是字母太多根本不知道怎么消元……

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回复 5# kuing
kk,我也是发现未知数个数太多不知道如何消元

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用上面的方法可以很容易得到这个结论:
与曲线
\[
\left\{
\begin{aligned}
&ax^2+by^2=1\\
&z=0
\end{aligned}
\right.
\]
均相交的三条直线 $l_1$、$l_2$、$l_3$ 两两互相垂直且相交于同一点 $P$,则点 $P$ 的轨迹方程是
\[
ax^2+by^2+(a+b)z^2=1
\]

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再补充两个结论:
若平面 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 两两互相垂直,且与曲面 $ax^2+by^2+cz^2=1$ 均相切($abc\neq 0$),则 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 交点的轨迹方程是 $x^2+y^2+z^2=1/a+1/b+1/c$。
若平面 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 两两互相垂直,且与曲线
\[
\left\{
\begin{aligned}
&ax^2+by^2=1\\
&z=0
\end{aligned}
\right.
\]
均相切($ab\neq 0$),则 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 交点的轨迹方程是 $x^2+y^2+z^2=1/a+1/b$。

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7#可以看作本帖主楼问题中 $c$ 趋向无穷大时的极限结论。
8#的第二个结论可以看作 $c$ 趋向无穷大时的极限结论。

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\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}
...
hejoseph 发表于 2018-11-28 10:57

切锥面方程应该可以表达得更简洁
\begin{align*}
\left(\frac{{x_0}^{2}}{A^{2}}+\frac{{y_0}^{2}}{B^{2}}+\frac{{z_0}^{2}}{C^{2}}-1\right)\left(\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}+\frac{z^{2}}{C^{2}}-1\right)=\left(\frac{x_0x}{A^{2}}+\frac{y_0y}{B^{2}}+\frac{z_0z}{C^{2}}-1\right)^2
\end{align*}

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黄利兵提到一个结论
命题1:二次锥面有三条两两互相垂直的母线的充要条件是 $x^2$、$y^2$、$z^2$ 项系数之和为零。 ...
hejoseph 发表于 2018-11-28 10:57

246235277264.png
2021-7-6 14:43

空间解析几何习题精解(第3版)
高红铸,王幼宁,张蓓
北京师范大学出版社 , 2009.09

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