本帖最后由 hejoseph 于 2018-11-28 10:59 编辑
黄利兵提到一个结论
命题1:二次锥面有三条两两互相垂直的母线的充要条件是 $x^2$、$y^2$、$z^2$ 项系数之和为 0。
这个结论可以用二次曲面的不变量去证明,将锥面通过旋转和平移到三条两两互相垂直的母线与 $x$、$y$、$z$ 轴重合去讨论,不难。二次曲面的不变量在有对二次曲面一般理论的解析几何书里会有专门介绍。
命题2:以点 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 为锥的顶点,母线与二次曲面 $ax^2+by^2+cz^2=1$ 相切的切锥面方程为
\begin{align*}
&a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)\left(x-x_0\right)^2+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)\left(y-y_0\right)^2+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)\left(z-z_0\right)^2\\
&{}-2abx_0y_0\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right)-2acx_0z_0\left(x-x_0\right)\left(z-z_0\right)-2bcy_0z_0\left(y-y_0\right)\left(z-z_0\right)=0
\end{align*}
这个结论用一般的锥面方程求解方法推导即可,只是计算繁琐,没难度。
回到原问题,根据命题1和命题2,必定有
\[
a\left(by_0^2+cz_0^2-1\right)+b\left(ax_0^2+cz_0^2-1\right)+c\left(ax_0^2+by_0^2-1\right)=0
\]
整理得
\[
a(b+c)x_0^2+b(a+c)y_0^2+c(a+b)z_0^2=a+b+c
\]
即所求点 $P$ 的轨迹方程是
\[
a(b+c)x^2+b(a+c)y^2+c(a+b)z^2=a+b+c
\] |