[不等式] 满足不等式能构成三角形的参数取值问题

敬畏数学

已知$k\inN^*,x,y,z\inR^+,$若对任意满足不等式：$k(xy+yz+zx)>5(x^2+y^2+z^2)$的$x,y,z$，都存在以$x,y,z$为边长的三角形，则$k$的取值为-------。

kuing

当年研究过，可惜只贴了结果没写过程：https://artofproblemsolving.com/ ... 2b2c2_with_triangle（记得点一下那个 Click to reveal hidden text）……时间关系明天再说……

游客

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2018-11-21 11:01

好像算错了，应该是5<k≤6.

敬畏数学

回复 2# kuing
等详细解答！谢先。

kuing

把 2# 链接中的东东翻译过来先：

k(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 与三角形
by kuing, Nov 11, 2010, 4:16 pm

（1）若 `a`, `b`, `c` 为三角形三边，则有
\[2(ab + bc + ca) > a^2 + b^2 + c^2, \quad (1)\]其中系数 `2` 已是最小；

（2）若 `a`, `b`, `c>0` 且
\[\frac65(ab + bc + ca) > a^2 + b^2 + c^2, \quad (2)\]则 `a`, `b`, `c` 一定能构成三角形三边，其中系数 `6/5` 已是最大。

这说明：
所有构成三角形的 `(a,b,c)` 都满足式 (1)，但满足式 (1) 的 `(a,b,c)` 并不止三角形三边的；
而满足式 (2) 的 `(a,b,c)` 就一定能构成三角形，但满足式 (2) 的三角形也并非包含所有三角形。
那么，满足式 (1) 但不满足式 (2) 的三角形是什么样的三角形呢？

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先证（1）：
式 (1) 等价于
\[\bigl(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\bigr)\prod\bigl(\sqrt a+\sqrt b-\sqrt c\bigr)>0,\]由 `a`, `b`, `c` 为三角形三边有 `\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}>\sqrt c` 等，所以不等式成立。

另一方面，当 `a=b=1` 且 `c\to0` 时 `(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca)\to2`，可见系数 `2` 不能再小，命题（1）得证；

再证（2）：
由式 (2) 得
\[6(bc+ca)-5c^2>5(a^2+b^2)-6ab=4(a-b)^2+(a+b)^2\geqslant (a+b)^2,\]因式分解得 `(a+b-5c)(a+b-c)<0`，即 `c<a+b<5c`，同理有另外两式，所以 `a`, `b`, `c` 一定能构成三角形三边。

另一方面，当 `a=b=1` 且 `c=2` 时 `(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca)=6/5`，这表明如果 `t(ab + bc + ca) > a^2 + b^2 + c^2` 中的 `t>6/5`，则 `(a,b,c)=(1,1,2)` 必满足此不等式，即存在不能构成三角形的情形，所以系数 `6/5` 不能再大，命题（2）得证。

至于楼主的题，应用命题（2）可知 `k\leqslant6`，又显然 `k` 必须大于 `5`，所以只能是 `6`。

敬畏数学

回复 5# kuing
ok!谢谢。

huing

作变量代换\[x+y-z=2c,y+z-x=2a,z+x-y=2b\]其逆为\[x=b+c,y=c+a,z=a+b\]不妨假定$0<x\leqslant y\leqslant z$, 则必有$a\geqslant b>0$, 由于为齐次式，不妨假定 $a=1$.然后按代入原不等式化为\[(k-10 )b^2 + (3k-10 )bc+ (k-10 )c^2 +(3k-10) b+(3k-10)c+(k-10)>0\]问题转化为求 $k$ 的值使上述不等式蕴含 $c>0$.
满足要求的点$(b,c)$ 必须为坐标系$boc$上的二次曲线\[(k-10 )b^2 + (3k-10 )bc+ (k-10 )c^2 +(3k-10) b+(3k-10)c+(k-10)=0\]的“内部”，并且这条二次曲线必须限于第1象限内（不含坐标轴）,所以这条二次曲线只能是椭圆或者抛物线，不能是双曲线。
不能为双曲线，可得判别式\[(3k-10)^2-4(k-10)^2\leqslant 0\]不含坐标轴，由于对称性，只需要考察曲线与 $c$ 轴的交点，将 $b=0$ 代入曲线方程得\[(k-10 )c^2+(3k-10)c+(k-10)=0\]得判别式\[(3k-10)^2-4(k-10)^2<0\]解得 $-10<k<6$
显然必须 $k>5$, 所以没有满足要求整数 $k$。

错哪里了？

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回复 7# huing
高手！是否就是等于0没有来得及考虑。另外这样求得的k值是否是必要条件。加上自然数就得答案。

敬畏数学

回复 7# huing
借用你的思路想，下面如果能探求不等式x+y>z成立的条件即可。仔细思考3#的想法，齐次不等式，设x+y=mz(m>0)，构成三角形只要探求出m＞1的k
可能取值范围即可。

huing

找到错误所在了，更改如下：

满足要求的点$(b,c)$ 必须为坐标系$boc$上的二次曲线\[(k-10 )b^2 + (3k-10 )bc+ (k-10 )c^2 +(3k-10) b+(3k-10)c+(k-10)=0\]的“内部”（不含曲线），并且这条二次曲线必须限于第1象限内（最多与坐标轴相切）,所以这条二次曲线只能是椭圆或者抛物线，不能是双曲线。

所以后面的曲线与 $c$ 轴交点的判别式符号为“$\leqslant $”。