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[不等式] 一个四元不等式20181111

本帖最后由 wanhuihua 于 2018-11-11 22:26 编辑

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\eqalign{
  & {\cal 设}a,b,c,d{\cal 为}{\cal 正}{\cal 实}{\cal 数}{\cal 且}abcd \ge 1  \cr
  & {\rm{   }}{\cal 求}{\cal 证}{\cal :}  \cr
  & \sum {d^2 } (ab + bc + ac) \ge 3\sum {ab}   \cr
  & {\rm{       }}  \cr
  & {\cal 万}{\cal 惠}{\cal 华}{\rm{20181111}} \cr}
$$
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回复 1# wanhuihua
$$
\eqalign{
  & {\cal (}{\cal 杨}{\cal 志}{\cal 明}{\cal ,}{\cal 猜}{\cal 想}{\cal )}{\cal 设}a,b,c,d{\cal 为}{\cal 正}{\cal 实}{\cal 数}{\cal 且}abcd \ge 1{\rm{  }}{\cal 求}{\cal 证}{\cal :}  \cr
  & (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) \ge {\rm{ }}(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1){\rm{      }} \cr}
$$
此题除了上面的结论证明外,还有其它证法吗?

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$$
\eqalign{
  & {\cal (}{\cal 杨}{\cal 志}{\cal 明}{\cal )}{\cal 设}a,b,c,d{\cal 为}{\cal 正}{\cal 实}{\cal 数}{\cal 且}abcd \geqslant 1{\text{  }}{\cal 求}{\cal 证}{\cal :}  \cr
  & (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) \geqslant {\text{ }}(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1){\text{      }}  \cr
  & {\cal 证}{\cal 明}{\cal :}  \cr
  & {\cal 左}{\cal 边}{\text{ = }}\sum {d^2 } (ab + bc + ca) + a^2 c^2  + b^2 d^2  + 2abcd  \cr
  & {\cal 右}{\cal 边}{\text{ = }}\sum {abc}  + \sum {ab + } \sum {a + ac + bd + 1 + abcd} {\text{ }}  \cr
  & {\cal 易}{\cal 证} a^2 c^2  + b^2 d^2  \geqslant ac + bd{\cal ,}{\cal 利}{\cal 用}{\cal 米}{\cal 尔}{\cal 黑}{\cal 德}{\cal 可}{\cal 证}{\cal :}  \cr
  & \sum {d^2 } (ab + bc + ca) \geqslant {\text{3}}\sum {abc}   \cr
  & \sum {d^2 } (ab + bc + ca) \geqslant {\text{3}}\sum a   \cr
  & {\cal 只}{\cal 需}{\cal 证}\sum {d^2 } (ab + bc + ca) \geqslant {\text{3}}\sum {ab}   \cr
  & \sum {d^2 } (ab + bc + ca) - {\text{3}}\sum {ab}  =   \cr
  & (ac + bd - 2)\sum {ab}  + \frac{1}
{2}\sum {ab{\text{(}}bc + ad - 2{\text{)}}}  \geqslant 0  \cr
  & {\cal 万}{\cal 惠}{\cal 华}{\text{20181111}}\,\,\, \cr}
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