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与矩形均匀带电薄片电场强度有关的二重积分

本帖最后由 青青子衿 于 2018-11-3 13:37 编辑

2.25  矩形带电薄片(带正电荷)位于\(z=-z_0\)(其中\(z_0>0\))的平面上,且带电薄片限定于\(-a\le x\le a\)与\(-b\le y\le b\)之间,
        其电荷面密度为\(\sigma\),试求出原点处的电场强度\(\boldsymbol{E}\)(矢量)
\[ \big|\boldsymbol{E}\big|\,=\int_{-b}^b\int_{-a}^a \dfrac{\sigma{\rm\,d}x{\rm\,d}y}{4\pi\varepsilon_0\left(x^2+y^2+z_0^2\right)}\dfrac{z_0}{\sqrt{x^2+y^2+z_0^2}} \]
\begin{align*}
\big|\boldsymbol{E}\big|\,&=\int_{-b}^b\int_{-a}^a \dfrac{\sigma z_0}{4\pi\varepsilon_0\left(x^2+y^2+z_0^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\rm\,d}x{\rm\,d}y\\
\,\\
&=\dfrac{\sigma z_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-b}^b\int_{-a}^a \dfrac{1}{\left(x^2+y^2+z_0^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\rm\,d}x{\rm\,d}y
\end{align*}
  1. Desmos code
  2. \int_{-b}^b\int_{-a}^a\frac{1}{\left(x^2+y^2+z_0^2\right)^{\frac{3}{2}}}dxdy
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