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请教一个积分

\[I=\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x}\cos(\sin x)\cos nxdx\]

我算到下面这里,但是最后一步和之前的不相等了,不知道哪里出错了。
\begin{align*}
2I &=\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x}\cos(nx-\sin x)dx + \int_{0}^{2\pi}e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)dx\\
&=\Re\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x}e^{i(nx-\sin x)}dx + \Re\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x}e^{i(nx+\sin x)}dx\\
&=\Re\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x-i\sin x}e^{inx}dx + \Re\int_{0}^{2\pi}e^{\cos x+i\sin x}e^{inx}dx\\
&=\Re\int_{0}^{2\pi}e^{e^{-ix}}e^{inx}dx + \Re\int_{0}^{2\pi}e^{e^{ix}}e^{inx}dx\\
&=\Re\int_{\abs{z}=1}i\frac{e^zdz}{z^{1+n}}+\Re\int_{\abs{z}=1}i\frac{e^zdz}{z^{1-n}}
\end{align*}
最后一个等号那里用了换元$z=e^{ix}$,然后第一个积分又用了换元$z\to1/z$
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回复 1# abababa


没错啊,为啥你觉得出错?
你不会是最后这两个积分的值算错了吧

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本帖最后由 abababa 于 2018-10-29 18:38 编辑

回复 2# 战巡

比如对第一个积分,我设$f(z)=ie^z$,然后我用高阶导数公式
\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\abs{s}=1}\frac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}ds\]

再令$z=0$,就得到
\[\frac{n!}{2\pi i}\int_{\abs{s}=1}\frac{f(s)}{s^{n+1}}ds=f^{(n)}(0)=i\]
所以
\[\int_{\abs{s}=1}i\frac{e^s}{s^{n+1}}ds=\frac{-2\pi}{n!}\]
这和之前的就不相等了,差一个负号。
还有我用Mathematica来算,是用下面的方式算$n=2$时的值:
Integrate[E^z/(z^(2 + 1)) /. z -> E^(I x), {x, 0, 2 Pi}]
和原来的也不相等。我总觉得是我把哪个系数弄错了,但就是找不出哪里出错。

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回复 3# abababa

你第一个积分做第二次换元$z\to \frac{1}{z}$时积分方向得反过来,变成$|z|=1$顺时针,所以少个负号

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回复 4# 战巡

谢谢。唉,原来我错在积分路径的方向上。后一个因为是解析的所以积分是$0$,容易得到,就第一个弄了好久都不对,总是差个符号,我就一直在找是哪一步换元做错了,没想到是积分方向错了。

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回复 1# abababa

原来积化和差就这步能懂,其他真是忘记了

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