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[几何] 一道平几角度计算

QQ图片20181027142728.png
2018-10-27 14:39
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本题以直角三角形的莫莱三角形为背景。

直角三角形的莫莱三角形的一条性质:两锐角近直角边的三等分线与莫莱三角形的对应边垂直。
即上楼的$BE\perp DE$,$CG\perp DG$。

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证明二(直接法)
1、将$\triangle ACD$沿其最长边AC镜像出去,可得正三角形'$\triangle ADD'$.
2、取$AD$的中点$E$,$AC$与$DD'$的交点$G$,得1/4正三角形$\triangle DEG$.
3、延长$CD'$和$BA$,取交点$F$, 计算角度可知$\angle F=90\du $

直接法

直接法.PNG
2018-10-29 20:17

4、连接$FE,FG$,它们显然是$\angle F=90\du $的三等分线。
又由作图法知$CD$,$CG$是$\angle BCF$的三等分线。
故$\triangle DEG$是Rt$\triangle BCF$的莫莱三角形。
所以$BD$,$BE$也是$\angle B=51\du$的三等分线,$\angle CBD=17\du$.
于是最后得$\angle BDC=150\du$.

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本帖最后由 huing 于 2018-10-29 19:56 编辑

证明一(同一法)。
我们通过以下作图重构四点形$ABCD$:
1、在BC边上作$\triangle{BCD'}$, 其内角$\angle B=17\du ,\angle C=13\du,\angle D'=150\du  $。$D'$与$D$在BC同侧。
2、作$\triangle{BCD'}$的BC边上的高$D'E$,将$\triangle{BCD'}$划成两个直角三角形。
3、将所得两直角三角形沿其斜边镜像过去。
4、再将所得两镜像三角形沿其较长直角边镜像到新的一侧。
得图如下

同一法作图

同一法.PNG
2018-10-29 19:56

简单地计算角度,由作图法可知:
1、$\triangle{A'D'D''}$是一个正三角形,故$A',E'',C$三点共线。
2、$\angle A'BC=51\du ,\angle A'CB=26\du,\angle BA'D'=73\du  $
于是所得四点形$A'BCD'$与四点形$ABCD$重合,故$\angle BDC=150\du  $。

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