本帖最后由 huing 于 2018-11-14 14:28 编辑
问题转化为:在y轴和大斜线x=y上各找一动点,与定点(1,3)形成一个三角形,求其周长的取值范围。
周长显然只有下界,没有上界。
按费马最小光程原理,最小三角形是一个光回路三角形。
如图,作定点$C(1,3)$关于y轴和大斜线$x=y$的镜像点$C_1(3,1),C_2(-1,3)$,将周长$CA+AB+BC$转化为折线长$C_1A+AB+BC_2$,
显然$C_1A+AB+BC_2\geqslant C_1C_2$. 所以连结线段$C_1C_2$,取与y轴和大斜线的交点$A_0(5/3,5/3),B_0(0,5/2)$, 即得最小三角形$A_0B_0C$. 最小周长$C_1C_2=\sqrt{(3+1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{5}$. |