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[不等式] 轮换齐一次不等式

$a,b,c$ 是正实数, 证明
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+6\sqrt[3]{abc}\geq 3(a+b+c).$$
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这是一个非常有特点的不等式. 将它变形为
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}-(a+b+c)\geq 2(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}).$$
可以看到, 左, 右都是熟悉的东西. 我自己有一个解法, 但是非常的暴力.
我一直有一个信念: 漂亮的问题肯定(或应该)有一个漂亮的解法. 我是很希望看到这个问题的漂亮解法.

这里还有一点启示, 那就是将两个不很难的不等式作比较, 可能导出困难的问题. 也是构作困难不等式一个套路. 以前见过一个很经典的例子.
$$R-2r\geq m_a-w_a.$$
这里, $m_a, w_a$ 分别表示三角形同一边上的中线和内角平分线的长度. $R, r$ 则是外接圆和内切圆半径.

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我的出发点也是转化为
$$\sum \dfrac{y^3}{x^2z}+6\geq 3\sum \dfrac{y}{x}.$$
直接去分母, 化为
$$\sum x^5y -3xyz(\sum x^2y)+6x^2y^2z^2\geq 0.$$
然后作最小代换. 设 $z=\min\{x,y,z\} $,  令 $x=z+p, y=z+q$, 代入上式, 整理为 $z$ 的多项式.
$$4(p^2-pq+q^2)z^4+(7p^3+p^2q-6pq^2+7q^3)z^3+(5p^4+4p^3q-3p^2q^2-3pq^3+5q^4)z^2+(p^5+5p^4q-3p^3q^2+q^5)z+p^5q\geq 0.$$
注意到, 每一项前的系数都是非负的, 所以得证.  够暴力吧 !

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回复 3# kuing

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}-(a+b+c)\geq t (a+b+c-3\sqrt[3]{abc}).$$

$t$ 有一个最佳值, 是一个 6 次多项式的根. 近似值在 5.11 左右.

上面的最小代换方法, 对 $t=2,3,4$ 都是有效的, 但是对 $t=5$ 无效. 为了降低难度, 我把 $t$ 设在了 2 的位置.

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