我的出发点也是转化为
$$\sum \dfrac{y^3}{x^2z}+6\geq 3\sum \dfrac{y}{x}.$$
直接去分母, 化为
$$\sum x^5y -3xyz(\sum x^2y)+6x^2y^2z^2\geq 0.$$
然后作最小代换. 设 $z=\min\{x,y,z\} $, 令 $x=z+p, y=z+q$, 代入上式, 整理为 $z$ 的多项式.
$$4(p^2-pq+q^2)z^4+(7p^3+p^2q-6pq^2+7q^3)z^3+(5p^4+4p^3q-3p^2q^2-3pq^3+5q^4)z^2+(p^5+5p^4q-3p^3q^2+q^5)z+p^5q\geq 0.$$
注意到, 每一项前的系数都是非负的, 所以得证. 够暴力吧 ! |