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用拉格朗日乘数法试试。令 $x=bc, y=ac, z=ab$

$1=\lambda(2-bc)=\lambda(2-x)$
$1=\lambda(5-ac)=\lambda(5-y)$
$1=\lambda(10-ab)=\lambda(10-z)$

$2-x=5-y \Leftrightarrow y=3+x \tag 1$
$2-x=10-z \Leftrightarrow z=8+x \tag 2$

对约束条件,两边同除以 $abc$, 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5y+\cfrac {10}z=1 \tag 3$

(1),(2) 代入(3), 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5{x+3}+\cfrac {10}{x+8}=1 \tag 4$
显然当 $x>0$ 时,LHS(4)各项单减,总和也必单减,所以方程有唯一的实根。观察易知 $x=12$ 是方程的根, 故 $y=3+x=15, z=8+x=20$,

由 $x=bc=12, y=ac=15, z=ab=20$,知 $a=5,b=4, c=3$ 是方程组的唯一一组正根。由问题性质知,
$f(a,b,c)=a+b+c  \text{  subject to  } 2a+5b+10c=abc$ 在唯一的临界点 (5,4,3) 上取得最小值 $5+4+3=12$.

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