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[不等式] 一个群里的竞赛不等式(2a+5b+10c=abc求a+b+c最小)

已知2a+5b+10c=abc(a,b,c>0),则a+b+c的最小值为

应该是竞赛题,以前好象见过
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怎么不查《撸题集》?这是 FAQ 啊,见 P.1021 FAQ 25,只不过系数不太一样而已,撸起来肯定也是那样的撸法

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按照书上的待定系数法(或其他暴li方法或开挂或纯猜)可以得到取等条件为 `(a,b,c)=(5,4,3)`,于是,咱们又可以玩装逼解法了

呐,现在来模仿 P.1024 中的计爷的恒等式,我们有:
\begin{align*}
& 25 \bigl((a + b + c)^2 (2 a + 5 b + 10 c) - 144 a b c\bigr) \\
={} & 50 a (3 b - 4 c)^2 + (2 a + 5 b + 20 c) (4 a - 5 b)^2 + (2 a + 25 b + 10 c) (3 a - 5 c)^2,
\end{align*}
即得
\[a + b + c\geqslant \sqrt{\frac{144abc}{2a+5b+10c}}=12.\]
装逼效果还阔以吧?

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回复 3# kuing


    这是怎么配的???

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回复 4# 2009

你猜

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回复 4# 2009

又要说,哈哈,这种配方只能看懂,自己配是配不来的,kuing特有招式

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回复  2009

又要说,哈哈,这种配方只能看懂,自己配是配不来的,kuing特有招式 ...
isee 发表于 2018-10-24 14:10

nonono, 不是我的招式,3# 已经说了,那个配方是模仿计爷的……

顺便改一下标题……

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这里记载了此类题的渊源和来龙去脉,相关解题人员(当然包含大名鼎鼎的kuing哥和ji爷啦)以及演变史:《三道同类不等式的解答与历史溯源(2008年吉林省预赛、《数学通报》2012年第2080号问题) 》https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 5&lang=zh_CN#rd

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回复 8# 其妙

太长懒得细看,只想说:我是2007年毕业的
另外我在《撸题集》P.1022~1023 对我当时那解法作了些补充,你也不整理进去

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回复 9# kuing
你的鲁题集也太丰富了,导致看了几道题后就没看了,所以并不知道你收录了这道题。

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回复 8# 其妙

计爷那配方至少比他的《代数不等式》里的那些容易破解得多,给链接里第三题也配一个:
\begin{align*}
&4\bigl( (5a+22b+c)^2(a+2b+3c)-48^2abc \bigr)\\
={}&136a(6b-c)^2+(46a+242b+385c)(a-4b)^2+(6a+134b+3c)(3a-2c)^2,
\end{align*}

\[5a+22b+c\geqslant48\sqrt{\frac{abc}{a+2b+3c}}\geqslant48.\]

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回复 11# kuing
厉害!反正我是破解不了的!

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回复 8# 其妙


    谢谢

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本帖最后由 游客 于 2018-12-17 13:49 编辑

无标题.png
2018-12-17 13:23


感觉就是消元之后只剩a后那一步最难搞,其他还好的。

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比如,8楼链接里的一个题如下:
无标题.png
2018-12-17 14:21

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本帖最后由 游客 于 2018-12-17 17:30 编辑

那个计教授的配方是要先知道取最值条件,然后解一个矩阵(一次方程组)吧?

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那个计教授的配方是要先知道取最值条件,然后解一个矩阵(一次方程组)吧? ...
游客 发表于 2018-12-17 16:57

这个哪里知道呀?虽然多数人怀疑是这样的,你还是去问陈计教授吧

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本帖最后由 业余的业余 于 2018-12-20 13:21 编辑

用拉格朗日乘数法试试。令 $x=bc, y=ac, z=ab$

$1=\lambda(2-bc)=\lambda(2-x)$
$1=\lambda(5-ac)=\lambda(5-y)$
$1=\lambda(10-ab)=\lambda(10-z)$

$2-x=5-y \Leftrightarrow y=3+x \tag 1$
$2-x=10-z \Leftrightarrow z=8+x \tag 2$

对约束条件,两边同除以 $abc$, 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5y+\cfrac {10}z=1 \tag 3$

(1),(2) 代入(3), 有
$\cfrac 2x+\cfrac 5{x+3}+\cfrac {10}{x+8}=1 \tag 4$
显然当 $x>0$ 时,LHS(4)各项单减,总和也必单减,所以方程有唯一的实根。观察易知 $x=12$ 是方程的根, 故 $y=3+x=15, z=8+x=20$,

由 $x=bc=12, y=ac=15, z=ab=20$,知 $a=5,b=4, c=3$ 是方程组的唯一一组正根。由问题性质知,
$f(a,b,c)=a+b+c  \text{  subject to  } 2a+5b+10c=abc$ 在唯一的临界点 (5,4,3) 上取得最小值 $5+4+3=12$.

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