用归纳法简单得证。
首先,n=3时,$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+I_{3,1}}=1-2r/R <1=n-2$,成立。
其中 r 和 R 分别是三角形的内径和外径。
假定n=k时不等式成立,即$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1}}<k-2$.
对于n=k+1, 有
$\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,k+1}+I_{k+1,1}}$
$=\abs{(I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1})+(I_{1,k}+I_{k,k+1}+I_{k+1,1})}$
$≤\abs{I_{1,2}+I_{2,3}+\cdots+I_{k,1}}+\abs{I_{1,k}+I_{k,k+1}+I_{k+1,1}}$
$<(k-2)+1=(k+1)-2=n-2$.
根据数学归纳法,命题对所有不小于3的自然数 n 成立. |