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[数列] 常见而又不寻常的数列小题

本帖最后由 史嘉 于 2013-10-29 21:32 编辑

已知$a_n=2^n,b_n=3n+2$,则$a_n$与$b_n$相同的项按照从小到大的顺序组成新数列$c_n$,求$c_n$的通项公式。
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都是一次的,基本见到的;
如此的,只有竞赛上有吧。
试试。
谢谢!好记忆力!

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回复 2# kuing

假设 am=bn⟺3m−2=n2。




设 k∈N,若 n=3k+1,代入解得 m=3k2+2k+1∈N+;若 n=3k+2,代入解得 m=3k2+4k+2∈N+;若 n=3k+3,代入解得 m=3(k+1)2+2/3∉N+。




由此可见,相同项构成的新数列为不被 3 整除的正整数的平方,即 {12,22,42,52,72,82,102,112,…},
容易写出其通项公式为
cn={(3k−2)2,(3k−1)2,n=2k−1,n=2k.

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本帖最后由 史嘉 于 2013-10-29 22:12 编辑

咦,复制粘贴过来,就不行了。

还是请大K出手吧,做的不顺利。

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已知$a_n=2^n,b_n=3n+2$,则$a_n$与$b_n$相同的项按照从小到大的顺序组成新数列$c_n$,求$c_n$的通项公式。 ...
史嘉 发表于 2013-10-29 21:28

仿着那个题做就行了,假设 $a_m=b_n$,即 $2^m=3n+2$,显然应有 $m>2$,移项得 $2(2^{m-1}-1)=3n$,故此方程有解当且仅当 $3\mid2^{m-1}-1$。下设 $k\in\mbb N^+$,则
(1)若 $m=2k+2$,则
\[2^{m-1}-1=2^{2k+1}-1=2\cdot(3+1)^k-1\equiv 2\cdot1-1=1\pmod3 \riff 3\nmid2^{m-1}-1;\]
(2)若 $m=2k+1$,则
\[2^{m-1}-1=2^{2k}-1=(3+1)^k-1\equiv1-1=0\pmod3 \riff 3\mid2^{m-1}-1.\]
由此可见,当且仅当 $m$ 为大于 $2$ 的奇数时存在 $a_m=b_n$,所以 $c_n$ 就是 $\{2^3,2^5,2^7,\ldots\}$,容易写出它的通项公式为
\[c_n=2^{2n+1}.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 6# kuing
辛苦了,谢谢!
我的变形思路不对头。

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换汤不换药:
必要性:当$2(2^{m-1}-1)=3n$时,$3\mid2^{m-1}-1$,故$2^{m-1}-1\equiv(-1)^{m-1}-1=0\pmod3 \riff m-1=2k$,$k\in N_+$.
充分性:当$m-1=2k$时,kk已证。

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回复 8# 其妙


    妙!

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