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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 再请教一道抛物线问题
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发表于 2018-10-14 19:03
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[几何]
再请教一道抛物线问题
自抛物线 $y^2=2px$ 外一点P(不在y轴上)向抛物线引切线PA, PB分别交y轴于C, D. 求证$\triangle$PCD的垂心H在抛物线的准线上.
2018-10-14 18:56
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kuing
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发表于 2018-10-15 00:06
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只看该作者
根据《撸题集》第 54 页定理 1.2.1 及推论 1.2.1.1 可知 `P`, `C`, `D`, `F` 四点共圆且 `PF` 为其直径,然后将抛物线、坐标系等东西擦掉,画上圆,就变成了下图,要证的就是 `H` 与 `F` 到 `CD` 的距离相等(注意图中的 `O` 不是坐标原点):
2018-10-15 00:06
取 `CD` 的中点 `E`,则由 $\vv{PH}+\vv{PF}=2\vv{OE}+2\vv{PO}=2\vv{OE}$ 可知 `E` 也是 `HF` 的中点,从而得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-10-15 01:20
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本帖最后由 player1703 于 2018-10-15 01:35 编辑
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kuing
谢谢kuing!我想到用你撸题集那页的共圆结论了(前面解答了我一道抛物线题就用了那个
). 然后很自然的联系重心和垂心我也想到了用你用的那个2倍的定理, 最后还是没搞出来
有个小笔误是$2\vec{PE}$不是$2\vec{OE}$.
其实CHDF是平行四边形就搞定了
其实我已经无限接近证出来了
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kuing
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发表于 2018-10-15 01:28
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player1703
是哦,我又粗心又笨了
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发表于 2018-10-15 14:10
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