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[数列] 一个群里的数列不等式

本帖最后由 2009 于 2018-10-14 11:51 编辑

如图
已经有高数解法,看看有没有高中解法,放缩法之流?
1.png
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字要不要这么大……排版还那么难看……

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用一下Abel,发现这个和是可以求粗来嘀……

记原不等式左边为 `f`,则
\[f=\sum_{i=2}^n\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1} \right)\frac1{2^{i-1}}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}},\]

\begin{align*}
a_i&=\frac1{2^{i-1}},\\
b_i&=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1},\\
S_i&=a_2+a_3+\cdots+a_i=1-\frac1{2^{i-1}},
\end{align*}

\begin{align*}
f&=\sum_{i=2}^na_ib_i-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^nS_i(b_i-b_{i+1})+S_nb_{n+1}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^n\left( 1-\frac1{2^{i-1}} \right)\left( -\frac1i \right)+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}-\sum_{i=2}^n\frac1{i\cdot2^{i-1}}\\
&=\sum_{i=2}^n\left( -\frac1i \right)+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}\\
&=1-b_{n+1}+\left( 1-\frac1{2^{n-1}} \right)b_{n+1}\\
&=1-\frac1{2^{n-1}}b_{n+1},
\end{align*}
也就是说有等式
\[\sum_{i=2}^n\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{i-1}-\frac1i \right)\frac1{2^{i-1}}=1-\frac1{2^{n-1}}\left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \right).\]
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 3# kuing


阿贝尔恒等式?积分的吧

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回复 4# isee

积分的我不了解,我用的是求和的那个。
不过积分其实也是一种求和,估计也是本质相同的公式。

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回复 4# isee


    阿贝尔求和是离散形式的分部积分法,分部积分法是连续形式的阿贝尔求和。

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113856742780592272.jpg
2018-10-20 19:36
睡自己的觉,让别人说去!!!

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回复 7# 睡神

这个好

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本帖最后由 战巡 于 2018-10-21 00:44 编辑

哦,这不群里那个题么...
那个高数解法是我给的,当时正准备睡觉,被他缠着问,根本没空研究,就直接正面强攻3分钟拿下来了
\[\sum_{i=2}^\infty(\sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k}-\frac{1}{i})\frac{1}{2^{i-1}}\]
\[=\sum_{i=2}^\infty(\frac{1}{2^{i-1}}\sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k})-\sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i·2^{i-1}}\]
\[=\sum_{i=2}^\infty(\frac{1}{2^{i-1}}\int_0^1\frac{x^{i-1}-1}{x-1}dx)-(2\ln(2)-1)\]
\[=\int_0^1\frac{1}{x-1}(\sum_{i=2}^\infty[(\frac{x}{2})^{i-1}-\frac{1}{2^{i-1}}]dx-(2\ln(2)-1)\]
\[=\int_0^1\frac{2}{2-x}dx-(2\ln(2)-1)=1\]

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回复 9# 战巡

强攻也不错
PS、第一行打漏了 1/k

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太高深莫测了…膜拜

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解法都很精彩!谢谢大家!!

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