[函数] 三角函数

hbghlyj

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2018-10-14 11:58

色k

盲目地随性地推了一通居然就推了出来，希望没有问题。

设 `x_1=\cos\theta`, `y_1=\sin\theta`, `x_2=\cos\phi`, `y_2=\sin\phi`, `x_3=\cos\Psi`, `y_3=\sin\Psi`，则 `x_i^2+y_i^2=1`, `i=1`, `2`, `3`，设 `f=\tan\theta\tan\phi\tan\Psi`，即 `f=y_1y_2y_3/(x_1x_2x_3)`。

由 `A+B+C=\pi` 得 `\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1`，代入条件即
\[(x_1y_2)^2+(x_2y_3)^2+(x_3y_1)^2+2x_1x_2x_3y_1y_2y_3=1,\]
消 `y` 得
\[x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_3^2)+x_3^2(1-x_1^2)+2(x_1x_2x_3)^2f=1,\]
整理得
\begin{align*}
2(x_1x_2x_3)^2f
&=1-x_1^2-x_2^2-x_3^2+x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_3^2x_1^2\\
&=(1-x_1^2)(1-x_2^2)(1-x_3^2)+(x_1x_2x_3)^2\\
&=(y_1y_2y_3)^2+(x_1x_2x_3)^2\\
&=(x_1x_2x_3)^2f^2+(x_1x_2x_3)^2,
\end{align*}
从而
\[2f=f^2+1,\]
即 `f=1`。

isee

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建议楼主看一看置顶公式输入，更方便交流。只是建议。