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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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hbghlyj
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发表于 2018-10-13 14:24
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只看该作者
[几何]
求证一道题
[img]https://tieba.baidu.com/f?kz=5858855567&mo_device=1&ssid=0&from=1086k&uid=0&pu=usm@1,sz@320_1002,
ta@iphone_2_7.1_2_12137.1
&bd_page_type=1&baiduid=73CB826D40B4CB08F71EC1D4EBA3F6E1&tj=www_normal_1_0_10_title&referer=m.baidu.com?pn=0&#viewImg[/img]
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kuing
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发表于 2018-10-13 14:30
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只看该作者
链接没给对
论坛可以直接贴图的
我帮你截过来好了:
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2018-10-13 14:30
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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isee
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发表于 2018-10-13 14:36
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kuing
A,B是定点?
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kuing
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发表于 2018-10-13 14:39
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isee
显然是。
还有那条抛物线应该是多余的。
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isee
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发表于 2018-10-13 14:45
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kuing
你又看穿了。。。。。。
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kuing
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发表于 2018-10-13 14:49
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isee
来个动图:
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(127.03 KB)
2018-10-13 14:49
由图猜测:该双曲线的渐近线一条与 `C` 所在直线平行,另一条与 `AB` 垂直。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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kuing
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发表于 2018-10-13 15:54
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只看该作者
暂时想不出几何方法,用代数方法吧,尽管很无趣。
首先将坐标系平移,使得 `A` 为原点,设 `B(a,b)`, `D(a,c)`,其中 `a`, `b` 为非零常数,`c` 为变量,容易求出 `E` 的坐标为 `E(ac/b,c)`,于是直线 `EF` 的方程为
\[y-c=-\frac ab\left( x-\frac{ac}b \right),\]
将其与直线 `AD` 的方程 `y=cx/a` 联立,即可解得 `F` 的横纵坐标分别为
\[x=\frac{ac(a^2+b^2)}{b(a^2+bc)},\ y=\frac{c^2(a^2+b^2)}{b(a^2+bc)},\]
消去 `c`,可得
\[y=\frac{abx^2}{a^3+ab^2-b^2x},\]
这就是 `F` 的方程,此方程再经平移后,必然可以写成 `y=px+q/x`(`q\ne0`)的形式,所以必为双曲线。
另外,对于我在楼上对渐近线的猜测,上述方程也给予了肯定,这是因为 `\lim_{x\to\infty}y/x=-a/b`。
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huing
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发表于 2018-10-15 11:04
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本帖最后由 huing 于 2018-10-15 11:20 编辑
几何方法要用到射影概念。在射影几何中,这几乎是不证自明的。
记x轴方向的无穷远点为X, EF方向的无穷远点为f
线束AD与线束XD(即平行线簇ED)形成透视,线束XE(即平行线簇ED)与线束fE(即平行线簇EF)形成透视,故线束AD与线束fE是射影对应线束。
所以两线束的对应直线的交点F的轨迹必为一条圆锥曲线。
曲线有一个显然的渐近线方向——AB的垂向(CA⊥AB时,与EF交于f),故必为一条双曲线。
另一条渐近线方向也不难看出是y轴方向。
以射影几何的常识,两个垂直可以更一般化——DE,EF各平行于一个固定方向就行,即 X 和 f 可以在无穷远线上任取。
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