[不等式] 不等！不等！！又见构造

力工

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只能构造？求大神，想知道来源和高妙的方法！

2018-10-12 11:03

求大神，想知道改编来源，与高妙大法！只能构造吗？

kuing

我不知道你说的“构造”是什么意思？
这题非常简单，就用简单的均值即可，完全没难度，什么来源不来源的根本无关重要。
首先对分母用均值 `\sqrt{1+a_i}=2\sqrt{2(1+a_i)}/\sqrt8\leqslant(3+a_i)/\sqrt8`，所以只需证
\[\sum\frac{a_i^2}{3+a_{i+1}}\geqslant\frac n4,\]再由均值
\[\frac{a_i^2}{3+a_{i+1}}+\frac{3+a_{i+1}}{16}\geqslant\frac{a_i}2,\]得
\[\sum\frac{a_i^2}{3+a_{i+1}}\geqslant\sum\left( \frac{a_i}2-\frac{3+a_{i+1}}{16} \right)=\frac7{16}\sum a_i-\frac3{16}n\geqslant\frac n4.\]