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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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高等数学讨论
» 是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$?
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发表于 2018-10-8 17:49
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是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$?
是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$?
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发表于 2018-10-8 17:59
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当$m\neq n$时一定不存在,因为$\mathrm{tr}\,(\bm{AB})=\mathrm{tr}\,(\bm{BA})$,而$\mathrm{tr}\,(\bm{E}_m)\neq\mathrm{tr}\,(\bm{E_n})$。
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大一新生
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发表于 2018-10-8 19:43
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感谢!
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战巡
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发表于 2018-10-10 23:01
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本帖最后由 战巡 于 2018-10-10 23:07 编辑
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大一新生
你原版问题中的那种矩阵不一定存在,但下面这个一定存在
可以证明对任意$m\times n$矩阵$A$,存在矩阵$B_{n\times m}$使得$B$满足以下4个条件:
1、$ABA=A$
2、$BAB=B$
3、$(AB)^T=AB$
4、$(BA)^T=BA$
满足条件的这个$B$称为$A$的摩尔-彭若斯广义逆阵(Moore–Penrose pseudoinverse),一般记作$A^+$,对任意矩阵$A$都存在且唯一,当$A$为方阵且非奇异时$A^+=A^{-1}$
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orzweb111
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发表于 2019-3-24 08:10
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热爱生命
The most slick answer ever, bravo.
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