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是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$?

是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$?
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本帖最后由 战巡 于 2018-10-10 23:07 编辑

回复 1# 大一新生

你原版问题中的那种矩阵不一定存在,但下面这个一定存在

可以证明对任意$m\times n$矩阵$A$,存在矩阵$B_{n\times m}$使得$B$满足以下4个条件:
1、$ABA=A$
2、$BAB=B$
3、$(AB)^T=AB$
4、$(BA)^T=BA$
满足条件的这个$B$称为$A$的摩尔-彭若斯广义逆阵(Moore–Penrose pseudoinverse),一般记作$A^+$,对任意矩阵$A$都存在且唯一,当$A$为方阵且非奇异时$A^+=A^{-1}$

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回复 2# 热爱生命
感谢!

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当$m\neq n$时一定不存在,因为$\mathrm{tr}\,(\bm{AB})=\mathrm{tr}\,(\bm{BA})$,而$\mathrm{tr}\,(\bm{E}_m)\neq\mathrm{tr}\,(\bm{E_n})$。

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