回复 9# lemondian
本来是写了一个解法, 后来看到 K 已经贴出来了, 我就删了. 基本思路是一样的.
不同的地方在于, 我是直接使用了 Vasc 的定理, 一下就看出来.
下面简单写一下四元的(直接证反转不等式). 令
$f(a,b,c,d)=a^2+b^2+c^2+d^2+abcd-5$
计算
$A=f(a,b,c,d)-f((a+b)/2,(a+b)/2,c,d)=(a-b)^2(2-cd)/4$
$B=f(a,b,c,d)-f(0, a+b,c,d)=ab(cd-2)$ .
立刻发现, $A,B$ 中至少一个大于0. Vasc 的定理是说, 如果$A\geq 0,B\geq 0$, 至少有一个成立的话,
则 $f$ 的最小值是在下面这个点集中取到
$\{(0, 4/3,4/3,4/3), (0,0,2,2),(0,0,0,4), (1,1,1,1)\}$
对这四个点逐一检查就行了.
这其实是调整法的一个变种, 也就是如果 $(a,b,c,d)$ 互不相同, 则可以把 $f$ 的值调整到
$((a+b)/2,(a+b)/2,c,d)$ 或者 $(0, a+b,c,d)$. 最终的极限状态, 当然就是集合
$\{(0, 4/3,4/3,4/3), (0,0,2,2),(0,0,0,4), (1,1,1,1)\}.$
或者它们中的置换.
这方法用起来很顺手. |