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关联正三角形的题参见：
其妙 发表于 2018-10-2 18:31

仅就这个题，给人的第一感觉和 拿破仑定理 有点关系。

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回复 5# 色k


看3#的战巡的没？也是具一般性的证明。不过，如果是我，我先作平行四边形，然后证正三角形，后同。

========

哈哈哈，细看了下你的推广，好像似乎原来套不上。。。正在看。。。

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回复 7# 其妙

搜索 关键词 拿破仑定理 证明

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回复 9# kuing

这类问题，最方便就是复数法了且是典范。

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回复 3# kuing

分别取如图取两三角形高后，从几何角度上说，也是（正在查帖）（查到了，两相似三角形三角形共顶点） 的一种“变式”。

如图，两易竖直线平行，M，N 是中点。

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回复  isee

帮我3#补一个几何证法嘛
色k 发表于 2018-10-4 10:50

看看这个平几法，应该没啥问题。

接3#

图中的三角形是等边三角形，但并不用此性质（QN与BC的平行，由题中的相似得线段成比例即可），当成普通三角形即可，不想重画图，其次，主要给 kuing，对图要求应该没那么高，哈哈哈。

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2018-10-5 17:22

这里有一个事实，就是12楼的链接 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4698

这个事实就像原帖的标题，平凡但并不简单，变化多端。

在这个事实，即$MN\perp QN$且Rt$\triangle QMN\sim \triangle DAQ$，之下(而进一步证明的)。

点$Q$，$P$分别是$D$在$AB$，$FA$上的射影，点$M$是$F$在$DE$上的射影。

由点$D$，$Q$，$A$，$P$四点共圆，及点$D$，$P$，$M$，$F$四点共圆，于是可得，$Q$，$P$，$M$三点共线。

于是$$\angle QMN =\angle ADQ=\angle QPA\Rightarrow MN\sslash FA.$$

证毕。

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回复  isee

你这是过 D 作 DP 垂直 AF 于 P，证 QPM 三点共线以及那些角相等？
但是这样之后好像还不能得 ...
kuing 发表于 2018-10-5 17:37

你这是过 D 作 DP 垂直 AF 于 P，证 QPM 三点共线以及那些角相等？

1. 图中标红点的角。

但是这样之后好像还不能得出结论吧？是不是还要把右边的也作起来才行？

2. 是的，很复杂。主要是前提“事实”很复杂。

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回复  isee

才看到你补充了过程……
噢，才想起已知结论中还有个相似……那就没问题了 ...
kuing 发表于 2018-10-5 17:40

我喜欢编辑边发，刚开始只发了一个图，只是为了我方便写字母，你已经理解得差不多了。。。。

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回复 18# kuing

哈哈哈，我觉着线多，擦了，右同左，的确又简了一步。。。
联动解题就是好。。。

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$\triangle FEC$旋转至$\triangle FAP$可证明$\triangle PAC\cong\triangle DCB$.
Tesla35 发表于 2018-10-6 23:35

主楼的漂亮解法呀，学习了，原来，$$\angle FAC+\angle FEC=\angle BCD.$$

这和此图

证法中的一种解是一脉相承的。

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$\triangle FEC$旋转至$\triangle FAP$可证明$\triangle PAC\cong\triangle DCB$.
Tesla35 发表于 2018-10-6 23:35

好解，3#推广一样适应此法，只全等变成了相似，辅助线少的巧解，服气。

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回复 24# 游客

学习了。

不用说了，游客一定是一位有着丰富的高中数学经验的资深的一线人员。

高中有三个常见的轨迹：阿氏圆，定幂和圆，定幂差线。

而24#实际就是将定幂差线完整的证明了一次，而且还是三角+向量。

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而在平面几何中，定幂差线，一般是这么用的

若线段$AC$，$BD$，则$BA^2-BC^2=DA^2-DC^2\iff AC \perp BD$。

因此24#得到圈1也便结束了，不过，后半段，游客实际上用三角+向量朴实而高效的证明了这个定理。

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具体即

定差幂线的证明：

$$
\left\{\begin{aligned}\vv{BA}^2=\left(\vv{BD}+\vv{DA}\right)^2=\vv{BD}^2+\vv{DA}^2+2\vv{BD}\cdot\vv{DA},\\\vv{BC}^2=\left(\vv{BD}+\vv{DC}\right)^2=\vv{BD}^2+\vv{DC}^2+2\vv{BD}\cdot\vv{DC},\end{aligned}\right.
$$

两式相减，结合$BA^2-BC^2=DA^2-DC^2$，有

$$0=\vv{BD}\cdot\vv{DA}-\vv{BD}\cdot\vv{DC}=\vv{BD}\cdot\vv{CA}.$$