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有没有这样的连续函数,存在一点,任意阶导数都是0

本帖最后由 abababa 于 2018-10-1 13:56 编辑

是否存在定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$,满足:1.不是常数函数,2. 是连续函数,3.无穷次可导,4.对任意给定的$n\in\mathbb{Z^+}$都存在定义域中的一点$c$,使得$f'(c)=f''(c)=\cdots=f^{(n)}(c)=0$。
是否对任意的非常数的定义在$(0,+\infty)$上的连续函数$f(x)$,满足无穷次可导,对任意给定的$n\in\mathbb{Z^+}$都存在定义域中的一点$c$,使得$f'(c)=f''(c)=\cdots=f^{(n)}(c)=0$。
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定义当 `x\leqslant0` 时 `f(x)=0`,当 `x>0` 时 `f(x)=e^{-1/x}`,那么 `f^{(n)}(0)=0` 对任意正整数 `n` 成立。

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本帖最后由 abababa 于 2018-10-1 13:54 编辑

回复 2# kuing
谢谢,可是$x=0$不在定义域里。我的主楼说得有点不明确,应该是存在一点$c\in(0,+\infty)$。
另外是否对任意的连续函数,都存在这样的点$c$?我把这个也加到主楼里。

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回复 3# abababa

这有什么要紧的,把函数平移一下不就好了

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回复 3# abababa

至于“另外是否对任意的连续函数,都存在这样的点c?”这个显然不行啊,比如 sinx

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回复 5# kuing

谢谢。那么对于满足主楼条件1,2,3的函数,再加上什么条件,就能保证这一类函数一定存在这样的点$c$呢?

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本帖最后由 战巡 于 2018-10-2 08:16 编辑

回复 1# abababa

“正常”函数一般是很困难的
假设一个函数在零点的展开为
\[f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\]
那么
\[f^{(n)}(0)=a_n·n!\]
如果要任意皆导数都为$0$,则需要$a_n=0$对$n\ge 1$全部成立,也就是一个常函数
如果不想要常函数,唯一的办法是拼接(拼接的函数不能像上面这样展开),就跟kk在2楼干的一样,那么此时不管其他地方怎么拼,这个无穷阶导数都为0的点肯定是在它的常函数段上
极端一点的话,你甚至可以把kk在2楼给的例子负数段也拼上非常数的函数,但0点这个位置仍然是个常函数,哪怕只有一个单点,它也是个强行拼进去的常数段

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回复 7# 战巡

谢谢,我开始也想到了泰勒展开,不过只有解析函数才行,并且这样得到的结果就必须是常数函数。然后就是普通的不解析但能无穷次求导的函数,但是这个又不是所有连续函数都行,所以想加点条件,让这类函数都满足条件。

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