[不等式] 证明一道不等式

敬畏数学

a,b,c>0，$proof:\frac{a(a^2+bc)}{b+c}+\frac{b(b^2+ac)}{a+c}+\frac{c(c^2+ba)}{b+a}\geqslant ab+bc+ca$

kuing

最后如果通分展开，写起来还更漂亮
\[=\frac{(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\]

kuing

简单题\begin{align*}
\LHS-\RHS&=\sum\left( \frac{a(a^2+bc)}{b+c}-\frac{a(b+c)}2 \right)\\
&=\frac12\sum\frac{a(2a^2-b^2-c^2)}{b+c}\\
&=\frac12\sum\left( \frac{a(a^2-b^2)}{b+c}+\frac{b(b^2-a^2)}{a+c} \right)\\
&=\frac12\sum\frac{(a-b)^2(a+b)(a+b+c)}{(b+c)(c+a)}
\end{align*}