[数列] 有人说超级难的数列题

yao4015

实数 $b, c$ 满足 $b<0, c>0,  b^2<4c$. 按如下方式定义递推数列 $\{B_n\},\ \{ C_n\}$
\begin{align}
& B_1=b, C_1=c,\\
& B_n=4+B_{n-1}+\dfrac{B_{n-1}}{C_{n-1}},\\
& C_n=\frac{(1+B_{n-1}+C_{n-1})^2}{C_{n-1}}.
\end{align}
证明, 存在正整数 $k$, 使 $B_{k}>0$.

这个问题困难的原因在于 $B_n$ 并不是单调的, 通项又不可能求得出来.  有兴趣的可以试试.