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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 怎样才能找到合乎要求的某个点?
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发表于 2018-9-18 11:19
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[函数]
怎样才能找到合乎要求的某个点?
本帖最后由 走走看看 于 2018-9-18 11:21 编辑
$已知k<1,x<0,希望找到x=x0,使得g(x)=x^2-3x+1+4/x-k<0。$
$本意是:证明当k<1时,f(x)=x^2-3x+1+4/x在x轴左半边与g(x)=k有唯一的交点。$
$易知x<0时,f(x)单调递减,f(-1)=1,f(-1)-k>0,需要找到x0,使f(x0)-k<0。$
x→0-时,f(x)→-∞。如果不用极限的方法可以吗?
请大师们指教!
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发表于 2018-9-18 13:37
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你在做这道题是吗:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4235
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kuing
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发表于 2018-9-18 14:03
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至于你想要的点,可以取 `x_0=1/(k-2)`,有
\[g\left(\frac1{k-2}\right)=\frac{(k-3)(3k-7)(k-1)}{(k-2)^2}<0.\]
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走走看看
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发表于 2018-9-18 21:58
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kuing
正是那道高考题,2014年的。
您太厉害了!不佩服不行。
请教大师,这个1/(k-2)是推导出来的,还是您根据自己的阅历猜出来的呢?
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kuing
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发表于 2018-9-18 22:44
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走走看看
结合图形尝试呗,可以算是猜,但也有些小技巧。
因为 k 越小要使 g(x) 负的范围就越趋向零,所以自然尝试倒数形式,为了计算简单我让它同样在 k=1 处相等,最终就得出了那个式子,其实很多式子都可以,比如 `x_0=2/(k-3)`, `x_0=3/(k-4)` 等。
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发表于 2018-9-21 11:44
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本帖最后由 走走看看 于 2018-11-16 07:52 编辑
回复3#
Kuing
终于想明白了,谢谢K大师指点!
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