其妙

沿着kuing的足迹（那一步同除以$2^n$是妙手，类似的，在解决这类递推数列$a_{n+1}=pa_n+c\cdot q^n$会用到），下面用数学归纳法证明:$b_{n+2}=b_n$，$n\geqslant2$，
初始值验证略（其实我没有验证，如果初始值错误，那以下的就甭看了，基础不牢，数学归纳法就地动天摇呀），
假设$b_{k+2}=b_k$，$k\geqslant2$，
则$b_{k+3}=\dfrac45b_{k+2}+\dfrac35\sqrt{1-b_{k+2}^2}=\dfrac45b_{k}+\dfrac35\sqrt{1-b_{k}^2}=b_{k+1}$，
于是$b_{n+2}=b_n$恒成立，$n\geqslant2$
看来数学归纳法虽然其貌不扬（高手觉得没啥技术含量），有时候威力也是蛮大的。
但是如何发现这个递推数列的“周期”？三角换元倒是一种途径。另外，也可以试一试构造复数。