kuing

最后一行的下标 1 跑到根号外面去了

kuing

题2、如图，下面证明弧 `MN` 满足题设。

下载 (10.67 KB)

2018-9-17 01:17

\begin{align*}
\sqrt{PD}+\sqrt{PE}=\sqrt{PF}&\iff\sqrt{PG}+\sqrt{PH}=\sqrt{GA}\\
&\iff2\sqrt{PG}\sqrt{PH}=GA-PG-PH\\
&\iff2\sqrt{GP}\sqrt{GJ}=GA-GH\\
&\iff2GM=GA-GB,
\end{align*}
最后一式显然成立，即得证。

kuing

回复 4# 青青子衿

第一题不怎么好玩，我就随便写写好了。

设等边 `\triangle ABC` 外接圆半径为 `R`，圆心为 `O`，点 `X` 满足 `OX=m`，先求下面两式的值：
（1）`XA^2+XB^2+XC^2`；
（2）`XA^2XB^2+XB^2XC^2+XC^2XA^2`。

（1）因为
\[XA^2=\bigl(\vv{OX}-\vv{OA}\bigr)^2
=m^2+R^2-2\vv{OX}\cdot\vv{OA},\]
由于 $\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}=\bm0$，所以
\[XA^2+XB^2+XC^2=3(m^2+R^2);\]

（2）设 $\langle\vv{OX},\vv{OA}\rangle=\theta_1$，则 $\vv{OX}\cdot\vv{OA}=mR\cos\theta_1$, $\vv{OX}\cdot\vv{OB}=mR\cos\theta_2$, $\vv{OX}\cdot\vv{OC}=mR\cos\theta_3$，其中 $\theta_3-\theta_2=\theta_2-\theta_1=120\du$，那么
\begin{align*}
XA^2XB^2&=\bigl(m^2+R^2-2\vv{OX}\cdot\vv{OA}\bigr)
\bigl(m^2+R^2-2\vv{OX}\cdot\vv{OB}\bigr)\\
&=(m^2+R^2)^2-2(m^2+R^2)\vv{OX}\cdot\bigl(\vv{OA}+\vv{OB}\bigr)
+4m^2R^2\cos\theta_1\cos\theta_2,
\end{align*}
故又由 $\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}=\bm0$ 得
\begin{align*}
&XA^2XB^2+XB^2XC^2+XC^2XA^2\\
={}&3(m^2+R^2)^2+4m^2R^2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_3\cos\theta_1),
\end{align*}
由 $\theta_3-\theta_2=\theta_2-\theta_1=120\du$ 得  `\cos(k\theta_1)+\cos(k\theta_2)+\cos(k\theta_3)=0`，其中 $k\inZ$ 且 `3\nmid k`，则
\begin{align*}
4(\cos\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_3\cos\theta_1)
&=-2(\cos^2\theta_1+\cos^2\theta_2+\cos^2\theta_3)\\
&=-3-(\cos2\theta_1+\cos2\theta_2+\cos2\theta_3)\\
&=-3,
\end{align*}
所以
\[XA^2XB^2+XB^2XC^2+XC^2XA^2=3(m^2+R^2)^2-3m^2R^2.\]

回到原题上，分别令 `m=R` 及 `m=R/2` 即可得出相关数值，最终结果懒得计算了……

kuing

回复 10# 其妙

这两题都不难啊，特别是题2，就算不用什么技巧，直接建系做都是相当容易的，我只是懒得写

kuing

回复 16# 其妙

复数证拿破仑我在你的另一帖里也写过 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5609&pid=28422（11#）