[不等式] 一个三元条件不等式

力工

问哈大神们，此题出处是。

kuing

出处不打紧啦，毕竟这题没什么难度。

首先很明显考虑证其逆否命题更容易，即证明：若 `\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}>3` 则\[\sum\frac1{a+b+1}<1,\]升次去根号，即证明：若 `ab+bc+ca>3` 则\[\sum\frac1{a^2+b^2+1}<1,\]
而由 `ab+bc+ca>3` 可知只需证
\[\sum\frac{ab+bc+ca}{3(a^2+b^2)+ab+bc+ca}\leqslant1,\]
即
\[\sum\frac{a^2+b^2}{3(a^2+b^2)+ab+bc+ca}\geqslant\frac23,\]
由 CS 得
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\frac{\left( \sum\sqrt{a^2+b^2} \right)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&\geqslant\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum(a^2+bc)}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&=\frac23.
\end{align*}
搞定。