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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 一个三元条件不等式
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发表于 2018-9-13 15:58
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只看该作者
[不等式]
一个三元条件不等式
问哈大神们,此题出处是。
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发表于 2018-9-13 16:21
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只看该作者
出处不打紧啦,毕竟这题没什么难度。
首先很明显考虑证其逆否命题更容易,即证明:若 `\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}>3` 则\[\sum\frac1{a+b+1}<1,\]升次去根号,即证明:若 `ab+bc+ca>3` 则\[\sum\frac1{a^2+b^2+1}<1,\]
而由 `ab+bc+ca>3` 可知只需证
\[\sum\frac{ab+bc+ca}{3(a^2+b^2)+ab+bc+ca}\leqslant1,\]
即
\[\sum\frac{a^2+b^2}{3(a^2+b^2)+ab+bc+ca}\geqslant\frac23,\]
由 CS 得
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\frac{\left( \sum\sqrt{a^2+b^2} \right)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&=\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&\geqslant\frac{2(a^2+b^2+c^2)+2\sum(a^2+bc)}{6(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)}\\
&=\frac23.
\end{align*}
搞定。
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