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[几何] 椭圆问题直接算好难,半途而废

已知$AB$是椭圆$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$的以点$P(1,1)$为中点的弦的平行弦,直线$AP,BP$分别交椭圆于点$C,D$,求证:$AB//CD$.
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回复 1# 力工
显然$k_{AB}=-\dfrac{1}{2}$,设出$A,B$的坐标表示点$C,D$,直线$AP,BP$的斜率表示真是太烦了。

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用伸缩变换来看简直太简单。
首先圆的情况下结论是显然成立的,然后把圆压成椭圆,中点依旧为中点,平行的依旧平行,不会改变结论,所以结论成立。

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或者利用“平行弦的中点轨迹是直线(的一部分)”这一结论也很容易搞定。

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回复 1# 力工

目测可以用坐标系放缩换成圆来搞,不过我就不这么干了...

用用参数方程好了,令$AP, BP$的参数方程分别为
\[x=1+\cos(\theta_1)t, y=1+\sin(\theta_1)t\]
\[x=1+\cos(\theta_2)t, y=1+\sin(\theta_2)t\]

直线参数方程代入椭圆会有
\[\frac{[1+\cos(\theta_1)t]^2}{8}+\frac{[1+\sin(\theta_1)t]^2}{4}=1\]
化简有
\[(3-\cos(2\theta_1))t^2+4(\cos(\theta_1)+2\sin(\theta_1))t-10=0......(1)\]
根据直线参数方程,令$AP=t_1,CP=-t_2, BP=t_3, DP=-t_4$,那么$t_1,t_2$会是上述这个方程的两解,$t_3,t_4$则是$\theta_2$对应方程的两解

既然如此,若要证明$AB∥CD$,只需证明$\frac{t_2}{t_1}=\frac{t_4}{t_3}$即可

根据$AB$的斜率为$-\frac{1}{2}$我们有
\[\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}=-\frac{1}{2}\]
\[\frac{\sin(\theta_2)t_3-\sin(\theta_1)t_1}{\cos(\theta_2)t_3-\cos(\theta_1)t_1}=-\frac{1}{2}\]
\[(2\sin(\theta_2)+\cos(\theta_2))t_3=(2\sin(\theta_1)+\cos(\theta_1))t_1......(2)\]
而另一方面
\[\frac{t_2}{t_1}=\frac{t_1t_2}{t_1^2}=-\frac{10}{(3-\cos(2\theta_1))t_1^2}\]
同理
\[\frac{t_4}{t_3}=-\frac{10}{(3-\cos(2\theta_2))t_3^2}\]
注意到$t_1$是上面(1)那个方程的解,有
\[(3-\cos(2\theta_1))t_1^2+4(\cos(\theta_1)+2\sin(\theta_1))t_1-10=0\]
\[(3-\cos(2\theta_1))t_1^2=10-4(\cos(\theta_1)+2\sin(\theta_1))t_1\]
于是根据(2)可以知道
\[(3-\cos(2\theta_1))t_1^2=(3-\cos(2\theta_2))t_3^2\]
然后
\[\frac{t_4}{t_3}=\frac{t_2}{t_1}\]

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回复 5# 战巡
回复 4# 色k
鸡点鸡线或共轭直径。但坐标法真的好难算,直接混(yun)过去了。

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