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[函数] $\forall a\exists b$ 和 $\exists b\forall a$

题一:若对任意$x\in[1,4]$,存在$a\inR$,使得$\abs{x^2+ax+b}\leqslant2x\,\,(b>0)$恒成立,则实数$b$的最大值为____.
题二:若存在$a\inR$,使得对任意$x\in[1,4]$,$\abs{x^2+ax+b}\leqslant2x\,\,(b>0)$恒成立,则实数$b$的最大值为____.
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第二题:
j2.gif
2018-10-25 21:31

当b最大时,抛物线过点(1,2),且与直线y=-2x相切。

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把问题搞得更简单点,要不先来看交换任意存在
题一:若对任意$x\in[1,4]$,存在$a\in R$,使得$ax+b\leqslant2x(b>0)$恒成立,则实数$b$的取值范围.
题二:若存在$a\in R$,对任意$x\in[1,4]$,使得$ax+b\leqslant2x(b>0)$恒成立,则实数$b$的取值范围.

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回复 5# APPSYZY

如果是这样理解的话,那题一的b就可以任取了

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题一中$a$与$x$的取值有关,而题二中$a$与$x$的取值无关

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回复 2# isee
一般情况下,$\forall a$和$\exists b$交换,似乎是不等价的,不知在这道题里,交换顺序会不会影响答案..

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回复 2# isee

分参不是挺好的么,即\[x+\frac bx+2\geqslant -a\geqslant x+\frac bx-2,\]然后分 `b` 与 `16` 的大小讨论一下即可得到最大是 9。

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本帖最后由 isee 于 2018-9-6 19:16 编辑

回复 1# APPSYZY

一会游客看到了,施展他的平移大法~

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(1)我的笨方法是分参,粗算是$9$,切点是$(3,-15)$。

(2)除了顺序不了一样,和(1)有什么不同?

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