回复 2# isee
解几很容易证啊,就是常规的点差法。
设曲线为 `Ax^2+By^2=1`,四顶点顺次为 `P_i(x_i,y_i)`, `i=1`, `2`, `3`, `4`,则
\begin{align*}
A(x_1-x_2)(x_1+x_2)+B(y_1-y_2)(y_1+y_2)&=0,\\
A(x_3-x_4)(x_3+x_4)+B(y_3-y_4)(y_3+y_4)&=0,
\end{align*}
由矩形知 `x_1-x_2=x_4-x_3`, `y_1-y_2=y_4-y_3`,可见直线\[A(x_1-x_2)x+B(y_1-y_2)y=0\]经过边 `P_1P_2` 及 `P_3P_4` 的中点,也就是说对边中点的连线过原点,另一对边同理,从而矩形中心在原点上,然后再利用对角线相等即容易得出结论。
PS、由此证法可知结论在椭圆和双曲线里都成立(双曲线可无法伸缩变圆喔) |