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[几何] 一直不知怎么解释椭圆内接矩形是“方方正正”

就是必有一组对边垂直于$x$轴,个人基本每次都是在选修4-5中坐标伸缩变换中“提”一下。

但是,奇怪的是为什么大家(无论是试卷里,还是做题目者)都默认就是“方方正正”的叱?
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“提”一下是指:
将椭圆伸缩为圆,则“椭圆内接矩形”变成“圆内接平行四边形”,再由对称互补且相等,此平行边形亦是矩形。

圆内接矩形两对角线的中点即为坐标原点,从而椭圆内接矩形的对角线交点(即矩形中心)亦是坐标原点,再(在椭圆中)计算对角线长,由每一个象限内的“弧”到原点距离是单调的~

总之,很麻烦。。。。。


我印象里大学解析几何里好像有解析证明,,但真的忘记了。

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回复 2# isee

解几很容易证啊,就是常规的点差法。

设曲线为 `Ax^2+By^2=1`,四顶点顺次为 `P_i(x_i,y_i)`, `i=1`, `2`, `3`, `4`,则
\begin{align*}
A(x_1-x_2)(x_1+x_2)+B(y_1-y_2)(y_1+y_2)&=0,\\
A(x_3-x_4)(x_3+x_4)+B(y_3-y_4)(y_3+y_4)&=0,
\end{align*}
由矩形知 `x_1-x_2=x_4-x_3`, `y_1-y_2=y_4-y_3`,可见直线\[A(x_1-x_2)x+B(y_1-y_2)y=0\]经过边 `P_1P_2` 及 `P_3P_4` 的中点,也就是说对边中点的连线过原点,另一对边同理,从而矩形中心在原点上,然后再利用对角线相等即容易得出结论。

PS、由此证法可知结论在椭圆和双曲线里都成立(双曲线可无法伸缩变圆喔

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椭圆上的点从一个顶点滑动到一个相邻顶点,到中心的距离是单调的,这个事实不用繁琐的计算证明。
假定不是单调的,将至少有一个与椭圆同心的圆与椭圆有至少8个交点,这不可能。

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椭圆的内接矩形必定与椭圆同轴亦可由5点决定一个椭圆来理解。一个给定矩形的外接椭圆已经有了4个点,还剩一个自由度,再给定一点就能唯一确定。不妨把剩下的这个自由点取在矩形的一个主轴上,由此5点决定的椭圆已知有一个与矩形同轴,由五点决定论知它是唯一的。余略。

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以矩形中心为圆心,对角线长为直径,画个圆,对称性显然。

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回复 6# 游客


    首先你要证明矩形中心和椭圆中心重合

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综合楼上看来,这个问题并不是特别显而易见的。

5#这个高观下解释厉害了。

3#这个直接证明了7#从而6楼成立了。


就3#而言,后半段我用斜率积,当$P_1P_3$过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$中心,则$$k_{P_2P_1}\cdot k_{P_2P_3}=-\frac {b^2}{a^2},$$这与$$\angle P_1P_2P_3=90^\circ$$矛盾。

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感谢楼主各位,学习了。

另外:网上查了下,另有两种证明一个是反证,一个是将5#具体化了。

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回复 7# wwdwwd117


    圆心从原点移开,四边形就不是平行四边形:
椭圆平行弦的中点轨迹是过椭圆中心的。

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