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[几何] 运动法继续——椭圆弧长差问题(wwd供题)

还是来自减压群,因为今天中午还在聊昨晚那个速度分解法,wwd又提供了一题:
生如夏花(2365*****) 11:12:51
TIM截图20180901232811.jpg
2018-9-1 23:37

我编的这题,应该可以勾起别人的兴趣

注:这里是 弧BP - 弧AP
\(\newcommand\hu[1]{\mathrm{arc}(#1)}\)
再注:由于论坛上打不出弧符号,这里以 $\hu{BP}$ 表示 弧BP。

题目:椭圆 `x^2/4+y^2=1`, `A(2,0)`, `B(0,1)`,在第一象限的椭圆上一点 `P` 满足 $\hu{BP}-\hu{AP}=1$,求 `P` 的坐标。

先给出一个引理:已知 `C_1`, `C_2` 均是以 `F_1`, `F_2` 为焦点的圆锥曲线,在 `C_1` 上取一点 `P` 向 `C_2` 作两条切线 `PP_1`, `PP_2`,`C_1` 在 `P` 处的切线为 `l`,则 `l` 为 `\angle P_1PP_2` 的内角平分线或外角平分线。(当 `C_1`, `C_2` 都是椭圆时必为外角,当 `C_1`, `C_2` 分别为双曲线和椭圆必为内角,其他情况内角外角都有可能,由切点是否在同一支上而定)

证明:只证 `C_1`, `C_2` 分别为双曲线和椭圆的情形,其他情况类似。
TIM截图20180901223537.png
2018-9-1 23:37

如图,由光学性质知 `l` 为 `\angle F_1PF_2` 的内角平分线,由《撸题集》第 519 页图 4.7.23 可知 `\angle F_1PP_1=\angle F_2PP_2`,从而 `l` 也为 `\angle P_1PP_2` 的内角平分线。

回到原题,椭圆 `x^2/4+y^2=1` 的两焦点为 `F_1\bigl(-\sqrt3,0\bigr)`, `F_2\bigl(\sqrt3,0\bigr)`,设 `P_0(2,1)`,现在,作一双曲线,使其以 `F_1`, `F_2` 为焦点且经过 `P_0`,在此双曲线右支上取一点 `P`,向椭圆作两切线 `PQ`, `PR` 且切点 `Q`, `R` 都在第一象限内,如图所示。
TIM截图20180901230358.png
2018-9-1 23:37

记 $S_1=\hu{BQ}+QP$, $S_2=\hu{AR}+RP$,当 `P` 沿双曲线向下运动时,根据引理,其速度方向与 `PQ`, `PR` 的夹角总是相同,由此可得,`S_1` 与 `S_2` 的减少量也总是相同的,也就是说,`S_1-S_2` 是恒定的,而当 `P` 位于 `P_0` 时,`S_1-S_2=P_0B-P_0A=2-1=1`,故此当 `P` 运动到双曲线与椭圆的交点时,仍有 `S_1-S_2=1`,所以,此交点便是题目所求的点。

由所设不难计算出双曲线的方程为 `x^2/2-y^2=1`,与椭圆方程联立即解得所求交点为
\[\left(\frac23\sqrt6,\frac13\sqrt3\right).\]
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稍微一般化一下就是:
共焦点的椭圆与双曲线,在双曲线上取点并作椭圆切线如图,有 $\hu{BP}-\hu{AP}=BP_0-AP_0$。
TIM截图20180902000829.png
2018-9-2 00:08
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弧差都有双曲线,wwd 这题编的有趣了

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回复 2# kuing

忘了说,反过来,在椭圆上取点向双曲线作切线也是一样的,只不过对取点有要求,要确保切点在同一支上:
QQ截图20180902160042.png
2018-9-2 16:00
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这个更好玩,两同焦椭圆,则:$PA+PB-(PA_0+PB_0)=\hu{B_0B}-\hu{A_0A}$。
QQ截图20180902162016.png
2018-9-2 16:24

可看作椭圆定义的推广(当小椭圆退化为焦点连线段时),同样,2#也可看出双曲线定义的推广。
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回复 5# kuing

可以换种表述,就是在P点运动过程中,PA+PB+优弧AB=定值。
这样,我们进一步可以这么说:如果有一根长度大于内椭圆C1周长的细绳,我们把细绳首位相接成一个绳圈,现将绳圈套在C1上,然后拿只笔将绳圈绷紧,画一圈(就像椭圆定义中两根钉子一根绳子画椭圆那样画),则画出的必然是一个与C1共焦点的椭圆。(图中外椭圆)正如kk所说,当C1退化为一条线段F1F2时,就是椭圆的定义。
QQ截图20180903123923.png

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回复 6# wwdwwd117


    然后回到定义画椭圆,一直有一个小顽疾:就是当我们在黑板上画出上半个椭圆,这时绳子会被钉子挡住,必须手动把绳子换过来,再继续画下半个椭圆。
现在好了,我们只要做一个绳圈(周长为2a+2c),套在那两个钉子上,然后再画椭圆,这回就顺畅了,一笔画完。有谁会想到,这么一个简单的处理方法,我是在运动法弄完上面这个同焦椭圆问题,再考虑退化后,才想到的呢?

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可以换种表述,就是在P点运动过程中,PA+PB+优弧AB=定值。
这样,我们进一步可以这么说:如果有一根长度大 ...
wwdwwd117 发表于 2018-9-3 11:19

我离完美结论总是差那么点
让我想起这帖 https://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2822833
PS、我帮你补了个图

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画椭圆真的会板上钉钉吗?那也可以用三角形周长是定值来理解或解释。

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不知道椭圆的弧长怎么算,两边的切点会不会跑得有快慢?

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回复 10# 游客

肯定是有快有慢的,不过这不影响总长。

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还是稍微解释一下:
QQ截图20180903145610.png
2018-9-3 14:56

如图,`A_0` 为定点,记 $S=\hu{A_0A}+AP$,设 `P` 的速度为 `v_P`,切点 `A` 也有一个速度 `v_A`,那么 $\hu{A_0A}$ 的变化率为 `v_A`,而 `AP` 的变化率则为 `-v_A+v_P\cos\theta`,故此,`S` 的变化率为 `v_P\cos\theta`,也就是说,`S` 的变化率只取决于 `P` 的速度及其与切线的夹角。
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回复 8# kuing

谢谢补图,这个椭圆上红色部分我还画不出来。。。
我们都知道是等价的,不过换种说法似乎更符合人类的审美观

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时隔两年的这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=7405 提醒我这帖忘了抛物线没提……

首先如下图:
QQ截图20200913231038.png
2020-9-13 23:25

焦点为 `F` 的抛物线外一点 `P` 作两切线,切点为 `A`, `B`,则熟知 `\triangle PFA\sim\triangle BFP`(见《撸题集》P.998 或 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5481 的 4#),所以 `\angle APF=\angle PBF`,作 `PC` 平行于抛物线对称轴,则由光学性质知 `\angle PBF=\angle BPC`,所以 `\angle APF=\angle BPC`。

然后如下图:
QQ截图20200913232449.png
2020-9-13 23:25

两条抛物线共焦点,且对称轴相同,由光学性质,`P` 处的切线与 `PF`, `PC` 的夹角相同,结合上述结论 `\angle APF=\angle BPC`,可知切线与 `PA`, `PB` 的夹角也相同,记为 `\theta`。

现在让 `P` 以速度 `v` 在抛物线上运动,切点 `A`, `B` 的速度记为 `v_A`, `v_B`,则
\begin{align*}
\frac{\rmd PA}{\rmd t}&=v\cos\theta-v_A,\\
\frac{\rmd PB}{\rmd t}&=-v\cos\theta+v_B,\\
\frac{\rmd(\hu{AB})}{\rmd t}&=-v_A+v_B,
\end{align*}所以
\[\frac{\rmd(PA+PB-\hu{AB})}{\rmd t}=0,\]也就是说 $PA+PB-\hu{AB}$ 为定值。

双共焦双曲线也是一样,就不再详写了,如图:
QQ截图20200914014553.png
2020-9-14 01:46

同样有 `P` 处的切线与 `PA`, `PB` 的夹角相同,当切点在同一支上时,就有 $PA+PB-\hu{AB}$ 为定值。

这样,双椭圆、双抛物线、双双曲线的结论就是统一的,而对于双椭圆,加上小椭圆的周长,就变成 `PA+PB+\text{优弧}~AB` 为定值。
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