回复 1# dahool
其实就是个随机行走问题嘛
令第$n$局过后甲得分减去乙得分为$X_n$,则$X_n\in\{-1,0,1\}$时游戏可以继续,否则终止
由于只有$n$为奇数时$X_n=-1,1$才是可能的,直接做一个跳跃矩阵好了
\begin{array}{c|cc}
\hline
& -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
-2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0\\
1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} \\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
其中$-2,2$是两个吸收态,剩下就是按部就班的事了
初始状态$X_0=0$确定
\[E(n)=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}·
\left(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
0 & \frac{3}{4} & 0\\
\frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4}\\
0 & \frac{3}{4} & 0\\
\end{pmatrix}
\right)^{-1}·
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\
\end{pmatrix}=\frac{16}{3}
\] |