本帖最后由 realnumber 于 2018-8-30 16:10 编辑
编程搜索了下100万内找不到解。
反证法尝试下,
假设存在a,d,n,有0<a-3d<a-d<a+d<a+3d,且$(a^2-9d^2)(a^2-d^2)=n^2$,不妨设(a,d)=m,(a-3d,a-d,a+d,a+3d)=k,若m≠1,
则四数a-3d,a-d,a+d,a+3d同时除以m,得到四数仍符合题意,于k也同样如此
因此不妨取m=k=1.
此时检验四数两两的公因数(a-3d,a-d)=(2d,a-d)=(2,a-d)=1(若a,d同奇或同偶与k=1不符,可见a,d一奇一偶,四数都为奇数)
(a-d,a+d)=(2d,a+d)=(2,a+d)=1
(a+d,a+3d)=1=(a-d,a+3d)=(a+d,a-3d)
(a-3d,a+3d)=(6d,a+3d)=(3,a+3d)=(3,a)
1.若$3\mid a$则(3,a)=3
四数a-3d,a-d,a+d,a+3d依次为$3t_1^2,t_2^2,t_3^2,3t_4^2$,其中$t_1,t_2,t_3,t_4$两两互素.
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2.若$3\nmid a$则(3,a)=1,此时此四数a-3d,a-d,a+d,a+3d两两互素,即为2楼isee举的命题。
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