繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 琴生不等式最简单情形证明的疑问
返回列表
发帖
郝酒
发短消息
加为好友
郝酒
当前离线
UID
377
帖子
287
主题
108
精华
0
积分
1707
威望
1
阅读权限
90
在线时间
343 小时
注册时间
2013-10-18
最后登录
2022-6-2
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2018-8-29 11:17
|
只看该作者
[不等式]
琴生不等式最简单情形证明的疑问
本帖最后由 郝酒 于 2018-8-29 11:31 编辑
设$f(x)$是凸函数,$f''(x)>0$,证明:$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.
看网上很多文章说这由凸函数的性质易得,我自己证的时候,证得很麻烦:令$g(x)=f(x)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f'\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)$,证明$g(x)\geq g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$,然后$g(x_1)+g(x_2)\geq 2g\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$去证明.
感觉有些麻烦。网上说去构造函数$h(x)=\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x)-f\left(\frac{x_1+x}{2}\right)$,但是这样我证不出来,所以想求助下。看这个怎么简单的证明。
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
realnumber
发短消息
加为好友
realnumber
当前离线
UID
37
帖子
1723
主题
405
精华
0
积分
10201
威望
2
阅读权限
90
性别
男
在线时间
2772 小时
注册时间
2013-6-21
最后登录
2022-4-25
2
#
发表于 2018-8-29 11:32
|
只看该作者
f''(x)>0,说明f'(x)是增函数。
h(x1)=0
h'(x)=0.5f'(x)-0.5f'(0.5(x1+x)),根据f'(x)是增函数,
x>0.5(x1+x)即x>x1,h'(x)>0
x<0.5(x1+x)即x<x1,h'(x)<0,因此h(x1)是h(x)的唯一的最小值
TOP
郝酒
发短消息
加为好友
郝酒
当前离线
UID
377
帖子
287
主题
108
精华
0
积分
1707
威望
1
阅读权限
90
在线时间
343 小时
注册时间
2013-10-18
最后登录
2022-6-2
3
#
发表于 2018-8-29 11:53
|
只看该作者
回复
2#
realnumber
对噶,谢谢哈,我还去求导,越求越复杂。
TOP
战巡
发短消息
加为好友
战巡
当前离线
UID
349
帖子
806
主题
26
精华
0
积分
8977
威望
21
阅读权限
90
在线时间
5693 小时
注册时间
2013-10-11
最后登录
2022-5-13
4
#
发表于 2018-8-29 12:00
|
只看该作者
回复
1#
郝酒
不妨假设$x_1>x_2$
\[f(x_1)+f(x_2)-2f(\frac{x_1+x_2}{2})=[f(x_1)-f(\frac{x_1+x_2}{2})]-[f(\frac{x_1+x_2}{2})-f(x_2)]\]
中值定理得
\[=\frac{x_1-x_2}{2}[f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]\]
其中$\xi_1\in (\frac{x_1+x_2}{2},x_1), \xi_2\in (x_2,\frac{x_1+x_2}{2})$,因此显然$\xi_1>\xi_2$
再用一次中值定理
\[=\frac{x_1-x_2}{2}(\xi_1-\xi_2)f''(\xi_0)>0\]
其中$\xi_0\in (\xi_2,\xi_1)$
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
5
#
发表于 2018-8-29 13:37
|
只看该作者
回复
4#
战巡
学习了,中值定理应用的典范
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
6
#
发表于 2018-8-29 14:28
|
只看该作者
本帖最后由 isee 于 2018-8-29 14:30 编辑
回复
4#
战巡
这个证法真赞呢,直接可以到用二元一般情况
$$\lambda_1+\lambda_2=1$$
\[\lambda_1 f(x_1)+\lambda_2 f(x_2)-f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)=\bigg(\lambda_1 f(x_1)-\lambda_1 f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\bigg)-\bigg(\lambda_2 f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)-\lambda_ 2f(x_2)\bigg)\]
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
7
#
发表于 2018-8-29 16:17
|
只看该作者
今天算是初识 Jensen 不等式了,原来就是函数凹凸性代数形式,似乎二元时,就是数学分析中凹凸性的定义。
了解 Jensen 不等式后,终于明白利用 Jensen 不等式证明 Holder 的构造真是精彩,受教。
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
8
#
发表于 2018-8-29 16:21
|
只看该作者
本帖最后由 isee 于 2018-8-29 16:40 编辑
天啦,均值不等式取自然对数后又是 Jensen 不等式。
===
真是忘记完了,原来这些(本楼及紧邻的楼上)就是数学分析函数凹凸性课后习题。。。。。
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
9
#
发表于 2018-8-29 16:42
|
只看该作者
回复
8#
isee
你赶紧入门,好玩得很
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
10
#
发表于 2018-8-29 16:52
|
只看该作者
回复
9#
kuing
这是深不见底的壕坑啊...也只能你这样的天才才能看得清...
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
11
#
发表于 2018-8-29 17:06
|
只看该作者
回复
10#
isee
不玩难题就行,像你上面那样去了解各种常用不等式定理之间的“通路”就已经很有意思,也很有益处。
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
12
#
发表于 2018-8-29 17:15
|
只看该作者
呐,俺也试试玩玩高数的,战巡已经玩了拉格朗,俺来玩太乐,希望没问题。
设 `h_1`, `h_2>0`,则由
\begin{align*}
f(x+h_1)&=f(x)+h_1f'(x)+\frac12h_1^2f''(\xi_1),\\
f(x-h_2)&=f(x)-h_2f'(x)+\frac12h_2^2f''(\xi_2),
\end{align*}
得
\[h_2f(x+h_1)+h_1f(x-h_2)=(h_1+h_2)f(x)+h_1h_2(h_1+h_2)\frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}2>(h_1+h_2)f(x),\]
即
\[f(x)<\frac{h_2}{h_1+h_2}f(x+h_1)+\frac{h_1}{h_1+h_2}f(x-h_2),\]
令 `x+h_1=x_1`, `x-h_2=x_2`, `h_2/(h_1+h_2)=\lambda`,则 `x_1>x_2`, `\lambda\in(0,1)`, `\lambda x_1+(1-\lambda)x_2=x`,上式即
\[f\bigl(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\bigr)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2).\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
13
#
发表于 2018-8-29 17:59
|
只看该作者
回复
12#
kuing
这两数学大家真的是五笔敲的。。。
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
14
#
发表于 2018-8-30 00:56
|
只看该作者
回复
13#
isee
没看懂……
TOP
isee
发短消息
加为好友
isee
当前离线
UID
15
帖子
5033
主题
697
精华
0
积分
31361
威望
18
阅读权限
90
性别
男
在线时间
8792 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2022-12-7
15
#
发表于 2018-8-30 09:03
|
只看该作者
回复
14#
kuing
(这两数学大家)
的名字
(真的是五笔敲的。。。)
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]