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[几何] 最小覆盖圆的问题

(1)已知三角形三边的长为3,4,5,分别以各边为直径作圆,求覆盖这三个圆的最小圆的半径。
(2)已知$\triangle ABC$中,$\angle C=90\du ,CB=a,CA=b,AB=c$,分别以各边为直径作圆,求覆盖这三个圆的最小圆的半径。
(3)给定任意一个$\triangle ABC$中,$CB=a,CA=b,AB=c$,分别以各边为直径作圆,求覆盖这三个圆的最小圆的半径。
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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-28 18:45 编辑

回复 1# lemondian
第一问:
\[\left(x-\frac{24}{23}\right)^2+\left(y-\frac{36}{23}\right)^2=\left(\frac{72}{23}\right)^2\]
\begin{align*}
L_{a}:y&=-\frac{5}{12}x+2\\
\\
L_{b}:y&=-\frac{24}{7}x+\frac{36}{7}\\
\\
L_{c}:y&=\phantom{+}\frac{20}{21}x+\frac{4}{7}
\end{align*}
Ap.png
2018-8-24 17:44

建立平面直角坐标系\(xOy\),点\(A(0,4)\),点\(B(3,0)\),点\(O_1(0,2)\),点\(O_2(\frac{3}{2},0)\),点\(O_3(\frac{3}{2},2)\);
以点\(O_1(0,2)\)为圆心作半径为\(2\)的圆\(\varGamma_1\colon x^2+(y-2)^2=4\),
以点\(O_2(\frac{3}{2},0)\)为圆心作半径为\(\frac{3}{2}\)的圆\(\varGamma_2\colon (x-\frac{3}{2})^2+y^2=\frac{9}{4}\),
以点\(O_3(\frac{3}{2},2)\)为圆心作半径为\(\frac{5}{2}\)的圆\(\varGamma_3\colon (x-\frac{3}{2})^2+(y-2)^2=\frac{25}{4}\);

引理:外切于两定圆的圆,其圆心轨迹为双曲线(的一部分)
这个引理2011年北约自主招生当大题考过,2015年洛阳模拟考过选择题

根据引理知:
动圆\(\varGamma_{1,3}\)既切于圆\(\varGamma_1\colon x^2+(y-2)^2=4\),又切于圆\(\varGamma_3\colon (x-\frac{3}{2})^2+(y-2)^2=\frac{25}{4}\),其圆心在双曲线\(C_1\colon \frac{(y-1)^2}{1/4}-\frac{(x-3/2)^2}{3/4}=1\)上;
动圆\(\varGamma_{2,3}\)既切于圆\(\varGamma_2\colon (x-\frac{3}{2})^2+y^2=\frac{9}{4}\),又切于圆\(\varGamma_3\colon (x-\frac{3}{2})^2+(y-2)^2=\frac{25}{4}\),其圆心在双曲线\(C_2\colon \frac{(x-3/4)^2}{1/16}-\frac{(y-2)^2}{1/2}=1\)上;
则三个圆\(\varGamma_1\),\(\varGamma_2\),\(\varGamma_3\)的公切圆在双曲线\(C_1\)与\(C_2\)的其中一个交点上。
通过计算可以找到三圆的外切公切圆\(\varGamma_{ABC}\)的圆心为\(O_{1,2,3}(\frac{24}{23},\frac{36}{23})\),半径为\(R_{1,2,3}=\frac{72}{23}\)。
与圆\(\varGamma_1\)的切点为\(P(-\frac{24}{13},\frac{36}{13})\);
与圆\(\varGamma_2\)的切点为\(Q(\frac{48}{25},-\frac{36}{25})\);
与圆\(\varGamma_3\)的切点为\(R(\frac{96}{29},\frac{108}{29})\);

附:
\[ \left(-\frac{864}{299}\right)^2+\left(\frac{360}{299}\right)^2=\left(\frac{72}{23}\right)^2\Longleftrightarrow\left(-\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \]
\[ \left(\frac{504}{575}\right)^2+\left(-\frac{1728}{575}\right)^2=\left(\frac{72}{23}\right)^2\Longleftrightarrow\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(-\frac{24}{25}\right)^2=1 \]
\[ \left(\frac{1512}{667}\right)^2+\left(\frac{1440}{667}\right)^2=\left(\frac{72}{23}\right)^2\Longleftrightarrow\left(\frac{21}{29}\right)^2+\left(\frac{20}{29}\right)^2=1 \]

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回复 2# 青青子衿

谢谢!提供一个不错的方法!
就是计算量有点大了。
另外:引理:外切于两定圆的圆,其圆心轨迹为双曲线(的一部分)
这里是不是内切呢?

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另外:期待有没有更简洁的方法,和其它两个问题的解答。

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-24 23:52 编辑

回复 3# lemondian
首先,你要理解清楚对象是谁……
三个定圆内切于公切圆,公切圆外切于三个定圆,
所以称“动圆”为外切于两个定圆的圆

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-24 23:30 编辑

回复 4# lemondian
有是有简单方法,微信上看到的
王扬最小覆盖圆问题与解答

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回复 6# 青青子衿

哦,这个也不错。建标时不常规。。。

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-28 14:06 编辑

回复 4# lemondian
另外:期待有没有更简洁的方法,和其它两个问题的解答。
lemondian 发表于 2018-8-24 23:21

第二问:
其中有\(\color{red}{a^2+b^2=c^2}\)
\[\left(x-\frac{\left(\frac{c-a}{b}\right)\left(a+b-c\right)}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2}\right)^2+\left(y-\frac{\left(\frac{c-b}{a}\right)\left(a+b-c\right)}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2}\right)^2=\left(\frac{a+b-c}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2}\right)^2\]
\begin{align*}
L_{a}:y&={\color{red}{-}}\,\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(2a+c-b\right)}{2ab\left(a+b-c\right)}x+\frac{a}{2}\\
\\
L_{b}:y&={\color{red}{-}}\,\frac{2ab\left(a+b-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(2b+c-a\right)}\left(x-\frac{b}{2}\right)\\
\\
L_{c}:y&=\phantom{+}\frac{a\left(c-a\right)\left(2a+c-b\right)}{b\left(c-b\right)\left(2b+c-a\right)}x+\frac{a\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)}{\left(c-b\right)\left(2b+c-a\right)}
\end{align*}
建立平面直角坐标系\(xOy\),点\(A(0,a)\),点\(B(b,0)\),点\(O_1(0,\frac{a}{2})\),点\(O_2(\frac{b}{2},0)\),点\(O_3(\frac{b}{2},\frac{a}{2})\);
以点\(O_1(0,\frac{a}{2})\)为圆心作半径为\(\frac{a}{2}\)的圆\(\varGamma_1\colon x^2+(y-\frac{a}{2})^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2\),
以点\(O_2(\frac{b}{2},0)\)为圆心作半径为\(\frac{b}{2}\)的圆\(\varGamma_2\colon (x-\frac{b}{2})^2+y^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2\),
以点\(O_3(\frac{b}{2},\frac{a}{2})\)为圆心作半径为\(\frac{c}{2}\)的圆\(\varGamma_3\colon (x-\frac{b}{2})^2+(y-\frac{a}{2})^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2\);

三圆的外切公切圆\(\varGamma_{ABC}\)的圆心为\(\displaystyle O_{1,2,3}\left(\frac{\left(\frac{c-a}{b}\right)\left(a+b-c\right)}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2},\frac{\left(\frac{c-b}{a}\right)\left(a+b-c\right)}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2}\right)\),半径为\(\displaystyle R_{1,2,3}=\frac{a+b-c}{1-\left(\frac{c-a}{b}\right)^2-\left(\frac{c-b}{a}\right)^2}\)

与圆\(\varGamma_1\)的切点为\(\displaystyle P\left(-\frac{a^2b\left(a+b-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(2a+b+3c\right)},\frac{2a\left(a+c\right)}{2a+b+3c}\right)\);
与圆\(\varGamma_2\)的切点为\(\displaystyle Q\left(\frac{2b\left(b+c\right)}{a+2b+3c},-\frac{ab^2\left(a+b-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a+2b+3c\right)}\right)\);
与圆\(\varGamma_3\)的切点为\(\displaystyle R\left(\frac{b\left(b+c\right)\left(b+c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(2a+2b+3c\right)},\frac{a\left(a+c\right)\left(a+c-b\right)}{\left(c-b\right)\left(2a+2b+3c\right)}\right)\);

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-28 14:46 编辑

回复 4# lemondian
另外:期待有没有更简洁的方法,和其它两个问题的解答。
lemondian 发表于 2018-8-24 23:21

第三问的一个例子:
\[ \left(x-\frac{9\left(549-200\sqrt{3}\right)}{3346}\right)^2+\left(y-\frac{30\left(17+43\sqrt{3}\right)}{1673}\right)^2=\left(\frac{10\left(73+30\sqrt{3}\right)}{239}\right)^2 \]
\begin{align*}  
L_{a}:y&=\phantom{+}\frac{20\left(147+113\sqrt{3}\right)}{2277}x\\  
\\  
L_{b}:y&=-\frac{5\left(147+305\sqrt{3}\right)}{3652}x+\frac{105\left(89\sqrt{3}-5\right)}{7304}\\  
\\  
L_{c}:y&=\phantom{+}\frac{4\left(118\sqrt{3}-147\right)}{715}x+\frac{42\left(4-\sqrt{3}\right)}{65}
\end{align*}
【2018年8月28日补充】
建立平面直角坐标系\(xOy\),点\(A(\frac{39}{14},\frac{20\sqrt{3}}{7})\),点\(B(-\,\frac{7}{2},0)\),点\(C(\,\frac{7}{2},0)\),点\(O_1(0,0)\),点\(O_2(-\frac{5}{14},\frac{10\sqrt{3}}{7})\),点\(O_3(\frac{44}{7},\frac{10\sqrt{3}}{7})\);
以点\(O_1(0,0)\)为圆心作半径为\(\frac{7}{2}\)的圆\(\varGamma_1\colon x^2+y^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\),
以点\(O_2(-\frac{5}{14},\frac{10\sqrt{3}}{7})\)为圆心作半径为\(4\)的圆\(\varGamma_2\colon (x+\frac{5}{14})^2+(y-\frac{10\sqrt{3}}{7})^2=4^2\),
以点\(O_3(\frac{22}{7},\frac{10\sqrt{3}}{7})\)为圆心作半径为\(\frac{5}{2}\)的圆\(\varGamma_3\colon (x-\frac{22}{7})^2+(y-\frac{10\sqrt{3}}{7})^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2\);

三圆的外切公切圆\(\varGamma_{ABC}\)的圆心为\(\displaystyle O_{1,2,3}\left(\frac{9\left(549-200\sqrt{3}\right)}{3346},\frac{30\left(17+43\sqrt{3}\right)}{1673}\right)\),半径为\(\displaystyle R_{1,2,3}=\frac{10\left(73+30\sqrt{3}\right)}{239}\)

与圆\(\varGamma_1\)的切点为\(\displaystyle P\left(\frac{3\left(339-400\sqrt{3}\right)}{962},-\frac{10\left(113+27\sqrt{3}\right)}{481}\right)\);
与圆\(\varGamma_2\)的切点为\(\displaystyle Q\left(-\frac{169+6000\sqrt{3}}{3206},\frac{10\left(366+269\sqrt{3}\right)}{1603}\right)\);
与圆\(\varGamma_3\)的切点为\(\displaystyle R\left(\frac{8911+2400\sqrt{3}}{2366},\frac{10\left(177+119\sqrt{3}\right)}{1183}\right)\);

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回复 9# 青青子衿


    第三问三角形边长是了什么值呢?

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回复 8# 青青子衿

方法还是第一问的做法吗?

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\begin{align*}
t={}&{-}5\left(a^4+b^4+c^4\right)+2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)\\
&{}+4\left(ab\left(a^2+b^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)-abc(a+b+c)\right)\\
u={}&3\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(ab\left(a^3+b^3\right)+ac\left(a^3+c^3\right)+bc\left(b^3+c^3\right)\right)\\
&{}-2\left(a^2b^2(a+b)+a^2c^2(a+c)+b^2c^2(b+c)-abc(ab+ac+bc)\right)
\end{align*}
所求的这个半径是方程
\[
2tr^2+2ur+\left(-a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)=0
\]
的最大根。

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回复 12# hejoseph


    能.写清楚由来吗?过程等

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-28 14:04 编辑

回复 10# lemondian
回复  青青子衿
    第三问三角形边长是了什么值呢?
lemondian 发表于 2018-8-27 19:09

其实你可以尝试算一算的
也很好算,那个例子中三角形的那三条边都是整数(提示你有一个角是60度哟)
不过实在不想算的话,我待会在9楼帖子补上

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本帖最后由 青青子衿 于 2018-8-28 15:56 编辑

回复 13# lemondian
回复  hejoseph
    能.写清楚由来吗?过程等
lemondian 发表于 2018-8-28 11:09


利用凯莱-门格行列式(Cayley–Menger Determinants)
\[\begin{vmatrix}  
0 & \left(R-\frac{a}{2}\right)^2 & \left(R-\frac{b}{2}\right)^2 & \left(R-\frac{c}{2}\right)^2 & 1 \\   
\left(R-\frac{a}{2}\right)^2 & 0 & \left(\frac{c}{2}\right)^2 & \left(\frac{b}{2}\right)^2 & 1 \\   
\left(R-\frac{b}{2}\right)^2 & \left(\frac{c}{2}\right)^2 & 0 & \left(\frac{a}{2}\right)^2 & 1 \\   
\left(R-\frac{c}{2}\right)^2 & \left(\frac{b}{2}\right)^2 & \left(\frac{a}{2}\right)^2 & 0 & 1 \\   
1 & 1 & 1 & 1 & 0   
\end{vmatrix}=UR^2+VR+W=0\]
\[
\left\{\begin{align*}
U=&\,3(a+b+c)^2(ab+ac+bc)-2(ab+ac+bc)^2\\
&-\frac{5}{8}(a+b+c)^4-4abc(a+b+c)\\
\\
V=&\,\frac{3}{8}(a+b+c)^5+\frac{5}{2}abc(a+b+c)^2+2(a+b+c)(ab+ac+bc)^2\\
&-2(a+b+c)^3(ab+ac+bc)-2abc(ab+ac+bc)\\
\\
W=&\,\frac{3}{8}(a+b+c)^4(ab+ac+bc)+abc(a+b+c)(ab+ac+bc)\\
&-\frac{1}{16}(a+b+c)^6-\frac{1}{2}abc(a+b+c)^3-\frac{1}{2}(a+b+c)^2(ab+ac+bc)^2-\frac{1}{2}a^2b^2c^2\\
\end{align*}\right.\]

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回复 15# 青青子衿

玩得这么深,难解呀!,都是大神!

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今天又看看这个题:
还是不明白:
(1)2#,8#的三条直线如何得出来的?
(2)圆心是如何算出来的?

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回复 15# 青青子衿
请问:这个并于半径的二次方程是否一定有正数解?会不会有两个正数解或无正数解?

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